第52届IMO预选题(三)

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1、2012年第11期17第52届IMO预选题(三)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2012)11—0017—046．已知△ABC满足AB=AC，D是边AC几何部分的中点，BAC的角平分线与过点D、B、C1．已知锐角△ABC，L为边BC上一点，的圆交于△ABC内一点E，直线BD与过点以L为圆心的圆∞与边AB、AC分别切于点A、E、B的圆交于两点B、F，直线AF与BE交B、C．若△ABC的外心0在圆to的劣弧于点，，c，与BD交于点证明：，是△KAB。’、的内心．Bc上，证明：

2、AABC的外接圆与圆交于7．已知凸六边形ABCDEF有内切圆两点．o0，且△ACE的外接圆的圆心也是0．设点2．设四边形AlA2AA不是圆内接四边在直线CD上的投影为，过且垂直于形，0为△AAA的外心，外接圆半径为rDF的直线与直线OE交于点K，K在直线DE类似地，定义0、0、0和r、r、r4．证明：上的投影为．证明：DJ=DL．18．本届IMO第6题．0lA一2。0A；一r2。03A一r32。04A：一r422=0．参考答案3．已知凸四边形ABCD的边AD、BC不1．辅助线如图1．平行，分别以边AB、CD为

3、直径的圆交于点E、F，且E、F在四边形ABCD的内部．设∞是过点E在直线AB、BC、CD上的投影的圆，是过点F在直线CD、DA、AB上的投影的圆．证明：线段EF的中点在过圆to和to的交点的直线上．4．已知锐角△ABC的外接圆为，边AC、AB的中点分别为、C。，点A在边BC上的投影为D，G为AABC的重心．设过点、C的圆∞与圆力切于点(点与A不重合)．证明：D、G、三点共线．5．设，为△ABC的内心，其外接圆为圆60，直线A，、，与圆的第二个交点分别为I冬l1点JD、E，弦DE与AC、BC分别交于点F、G，因

4、为B是点￡在AB上的投影，所以，点过且平行于AD的直线与过G且平行于在线段AB的内部．BE的直线交于点P，过点A、B分别与圆同理，点C在线段AC的内部．相切的直线交于点证明：直线AE、BD、由于点0在AABC的内部，则要么互相平行，要么交于一点．CoB

5、，，：360o_／C'LB'————一＼＼、／＼＼=：90。+孚．’＼．、＼故0[<60。．网2设0为点0关于BC的对称点．则COB+CAB：COB+CAB则点尸、Q在以AE为直线的圆上．=2+a=3a

6、设对角线A。与AA交于点，在=QPE+SPE+QRE+SRE=90。+90。=180。．每条对角线上选一个方向，设点到点A。、即四边形PQRS是圆∞的内接四边形．A、A、A的有向距离分别为、Y、、，同理，点F在四边形ABCD的四条边上△A2A，A的外接圆圆厂。与直线A。A的第二个交点为。(．与A，重合当且仅当A．A与的投影在圆∞上．设直线DA与CB交于点圆，．相切)．假设／CKD~>90。．则以CD为直径的圆因为0。A—r是点，关于圆，。的圆覆盖整个四边形ABCD．于是，点E、不在四幂，所以，01A一r2l=

7、A1B1·A1A3．边形ABCD的内部，矛盾．因此，直线与BC交于点P，ER与又MB，·MA3=MA2·MA，则AD交于点尺．MBl：yw．。下面证明：点P、R均在圆上．因为尺、E、Q、B四点共圆，所以，故01一r=(yw—)(—)QRK=QEB=90。一QBE=QA=QPE．=(一)．于是，QRX=／9P尸．同理，得另外三个等式．从而，点P在圆上．类似地，点也在圆∞上．故2同理，设点F在直线AD、BC上的投影分志(一+一)别为、／v，直线FM与BC交于点，与AD交于点J7、，．则点肘、Ⅳ均在圆上．=0201

8、2年第11期19如图3，设ⅣⅣ与尸P交于点U，MM与为D、。则RR交于点WQD=AQW=AXW=WAX=WQX．／7／于是，Q、D、X三点共线(记为z)．因为点G是△ABC和△A。B。的位似中心，AD和A。Q是对应高线，D和Q是对应点，所以，D、G、Q三点共线．从而，点G在直线Z上．5．如图5，设过点D、E分别与圆∞相切的直线交于点M，EA与DB的延长线交于3点因为PⅣ：PNN=90。，所以，Ⅳ、Ⅳ