第49届imo预选题(一)

《第49届imo预选题(一)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、18中等数学^{L．．，．．．、．．。．．-f第49届IMO预选题(一)李建泉译(天津师范大学数学教育科学与数学奥林克研究所，300387)代数部分+)=y+)．①1．本届IMO第4题．证明：存在一个正整数不属于．厂的值域．2．本届IMO第2题．7．证明：对于任意的正实数a、b、c、d，3．设5R是一个实数集，称从5到5都有的函数对(厂，g)为一个“西班牙组合”，满足(a—b)(a—c)．(b—e)(b—d)．a+b+c1．b+c+d十以下条件：(i)两个函数都是严格增加的，即对于任+c+d+aa+a+b意的、Y∈S，且

2、号成立的条件．)<-厂(Y)，g(x)

3、)=0，f(0)=1，g()≥对任意的x∈N+成立．1)=一1，且对于所有满足2>m的非负下面证明：对任意的非负整数和任意整数m、，有的正整数，有g()≤)．2+m)=l厂(2一￡(m))-jr(m)．对k用数学归纳法．证明：对于任意的非负整数P。均有当后=0时，由≤．厂()知结论成立．3p)>t0．假设k时结论成立，在归纳假设中用5．已知正实数a、b、e、d满足abed=1，g：()代替，并应用条件(ii)可得。+6+c+d>a+b+号+詈．g(g⋯())=(g())≤g2())

4、为g是严格增加的，所以，6．设函数-厂：R—N+满足对任意的、Y∈g川()<)．R，有若对于任意的∈N+，有g()=，则2009年第8期19I厂(g(g(x)))=八)=g(，())t(2¨’一2)=3，t(2¨一1)=2．与条件(ii)矛盾．-首先证明一个命题．因此，存在。∈N+，使得

5、+2．命题的证明：对用数学归纳法．故数列{}是严格递增的正整数数列．当=0时，另一方面，这个数列=g()(。)一1)：0，0)=1，1)=一1，有上界，矛盾．，(2)2-t(o))一，(0)=，(一1)-f(o)=一1，凶此，在集合N+的情况下，不存在西班3)2一t(1))-f(1)=Ao)-f(1)=2牙组合(-厂，g)．结论成立．(2)存在．假设一1时结论成立．考虑2¨‘一t(m))，可得设口一古)=。+一，2“‘一3)=2+(2强一3))，1＼1：2_2)一2一3)gl“一J_n一‘=一3～+3_。=O．则-厂和g严格递增，且满足_

6、厂(2¨一2)：2+(2一2))：2z一1)～2弘一2)g((n一)=一=2×3一+3～=3．<一=g(一÷))．_厂(2¨’一1)：2+(2一1))=2从一3)一2从一1)斟此，(_厂，g)是一个西班牙组合．=一3一2×3一’=一3．4．由已知条件可知，对于每个正整数n，考虑-厂(2“一t(m))，可得)是唯一确定的，且J)，2)，⋯的符号2¨一3)：-厂(2“+(2“。一3))变化看起来也毫无规律．不过只要直接计算：2一1)一厂(2¨一3)所有形如2一t(m))的值就足够了．=一3一0=一3．事实上，设>0，且设=∑2，其中，2¨一2

7、)=-厂(2“’+(2¨一2))：_厂(2¨一3)一2“’一2)00>nl>⋯>8I>0，再设：0—3=一3．n=2+2+。+⋯+2“(J=0，1，⋯，)．_厂(2“一1)：2“+(2“一1))由已知条件可得：l厂(2“一2)一2“一1)凡)=[(～1)(2一t(n+，))]+=3+3：2×3．：O(一1)¨⋯)，回到原题．其中，z：0，1，⋯，后一1．肖2一(m)可以被3整除时，下面计算：2“一1)、I厂(2一2)、f(2-3)_厂(2一t(m))≥3丁；的值．当2一t(m)不能被3整除时，特别地有-厂(2一t(m))≤0．t(2一3)

8、=2，t(2一2)=1，凶2一t(m)被3整除当且仅当2+mt(2丝一1)=3，t(2“’一3)=l，能被3整除，所以，对任意的非负整数m、n，有20中等数学两个结论．结合Ⅱ>6，有3p)>t