第52届IMO预选题(四)

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1、l8中等数学第52届IMO预选题(四)中圈分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2012)一0018—05若整数m、n满足数论部分S3+S4—3Smn，1．对于任意正整数d，f(d)是满足恰有证明：PIm．d个正因数的最小的正整数(如(1)=1，8．设n=2+1(kEN+)．证明：凡是一5)=16，6)=12)．证明：对于每个非负个质数当且仅当下述结论成立：存在1，2，整数k，均有⋯n一1的一个排列al，a2，⋯，a一l和一个整，(2)2¨)．，数数列g，g：，⋯，g，使得对于每个iE2．考虑多项式{1，2，⋯，

2、n一1}，均有P()=(戈+d1)(+d2)⋯(+d9)，nI(g‘一口+1)，其中，d。，d2，⋯，也是9个不同的整数．证明：其中，a=a1．存在整数Ⅳ，使得对于所有的整数≥N，均有P()能被一个大于2O的质数整除．参考答案3．设n是正奇数．求所有函数Z—z，1．对于任意正整数n，记d(n)为n的正使得对所有整数、Y均有因数的个数．设n=Ⅱpa(p)是乃的质因数分()一厂(y))l(一Y)．4．对于每个正整数k，设t(k)是k的最解式，其中，质数P取遍所有质数，a(p)是非大的奇因数．求所有的正整数a，使得存在正负整数，且除了有限个外都是

3、0．于是，整数n满足所有的差d(n)=1-[(口(p+1)．￡(n+a)一￡(，1)，￡(n+a+1)一f(n+1)，因此，d(n)是2的整数次幂当且仅当对⋯，f(n+2a一1)一￡(n+a一1)于每个质数P，都存在非负整数b(p)，满足均能被4整除a(p、=2‘一15．本届lMO第5题．=1+2+2+⋯+2(P)一．6．设P()、Q()是两个整系数多项式，^fn、一1且满足不存在非常值有理系数多项式整除故n：ⅡpⅡi=Op，．尸()、Q()．若对于每个正整数n，P(n)、d(It)：2fk=∑6(p))．Q(n)都是正整数，且(2Q‘一1

4、)I(3一1)，、P设．s是所有形如P‘的整数的集合，其证明：Q(x)是一个常值多项式．7．设p是一个奇质数，对于每个整数a，中，P是质数，r是非负整数．则d(n)是2的定义整数次幂当且仅当It是．s的某个有限子集aa2一中元素的积，且满足对于所有的tET和Sn丁++⋯+‘∈Is，若sIf，则sET，且若d(n)：2，则相应2012年第l2期19的集合有k个元素．d、8，使得对于无穷多个质数P，有设是s中包含最小的k个元素的集f(P)=印(0≤d≤n，占∈{1，一l})．合．则满足上述的条件．设这些质数的集合为P．又因为，满足条件当且仅当一

5、，满足条．对于确定的k，满足d(n)=2的最小的n是中元素的积，这个就是2)．件，所以，假设占=1．又因为c+。，所以，2)2¨)．若d=0，则对不同的质数P．、P。∈P，有2．因为当Ⅳ变大后，结论仍成立，所以，0=(f(p．)一，(P))(p-p；)，不失一般眭，假设d，d，⋯，d是正整数．矛盾，因此，d>11．注意到，小于20的质数只有八个．只需设n=md+r，其中，m、r为整数，且ml>l，证明：P()有多于八个不同的质因数．0≤r≤d—1．设d=max{dl，dz，⋯，d9}，N=d。．对任意整数和每一个质数P∈P，有下面证明：对于

6、所有的整数≥N，均有(厂(p)-f())I(P一“)．P()有多于八个不同的质因数．由于p)=p，贝0假设存在整数≥N，使P()只包含小P一=p(p)一于20的质因数，则对每个i∈{1，2，⋯，9}，--p,f()一+d可以表示为前八个质数的幂的积．-0(mod(p-f()))．因为对于每个i∈{1，2，⋯，9}，因为rx>Id。，Ip7()一ld，且故p'f()一”=0．I(+d)．这表明，r=0，且=()=()．由抽屉原则，知存在两个不同的下标、因为n为奇数，

7、所以，171,也是奇数．J，使得和是同一个质数的幂．从而，)=．由对称性，假设≤．4．口=1，3，5．于是，，+d、+d均可被整除．称满足条件的数对(口，n)为“胜数对”．从而，其差d—d也可被整除，但直接验证，知数对(1，1)，(3，1)，(5，4)0

8、所以，对于每个正整数n，存n，定义函数在i∈{0，1，⋯，口一1}，使得g(x)=)+0．n+2’e(e为奇数)．则g()也满足条件．则￡(n+)=t(ze)=e，故假设f(0)