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1、第40卷第5期数 学 学 报Vol.40,No.51997年9月 ACTAMATHEMATICASINICASept.,1997Hardy空间上的有界复合算子曹广福(四川大学数学系 成都 610064)摘 要 本文讨论了由解析映射φ:Bn→Bm诱导复合算子的有界性;特别地,研究了由保测内映射诱导复合算子的性质.作为推论,得到了W.Rudin[10]中一个公开问题的解答.关键词Hardy空间,保测内映射,复合算子MR(1991)主题分类47B35中图分类 O177BoundedCompositi
2、onOperatorsonHardySpacesCaoGuangfu(DepartmentofMathematics,SichuanUniversity,Chengdu610064,China)AbstractInthispaper,theboundednessofcompositionoperatorsinducedbyanalyticmapsfromBntoBmbediscussed.Inparticular,somepropertiesofcompositionopera2torsinduce
3、dbypreservemeasuremapsbestudied.Asaconsequence,wegivenanan2swerofaproblemofW.Rudin[10].KeywordsHardyspace,Preservemeasuremap,Compositionoperator1991MRSubjectClassification47B35ChineseLibraryClassificationO1771 引言np设Bn是C 中的单位球,Sn是Bn的边界,σn是Sn上的正旋转不变Borel
4、测度.H(Bn)是p经典的Hardy空间.设φ:Bn→Bm是解析映射,对任意f∈H(Bm),记复合运算f.φ为:Cφf[1][2]=f.φ.作为一种数学运算,函数的复合已被人们研究了很久,如Stanton、Henkin、[3][4]∞Adachi、Rudin等研究了与复合有关的保范H2扩张问题.从六十年代开始,人们开始研究2Bn=Bm时将Cφ看作H(Bn)上算子时一些重要的算子论问题(如见C.C.Cowen[5]、Nordgren[6]关于n=m=1情形,B.D.MacCluer[7]关于n=m>1
5、情形).在n≠m时,由解析映射φ:Bn→Bm诱导的复合算子具有什么性质?这自然是我们关心的问题.事实上一些多复变函数问收稿日期:1996203205,修改日期:1996211221,接受日期:1997203213博士后科学基金与国家自然科学基金资助项目©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.778数 学 学 报40卷题可以转化成这种情形下复合算子的相应问题(如见[8]).应该指出的是:nm22情
6、形差别很大,例如:若φ:B1B2是映射φ(z)=(z,0),则Cφ:H(B2)→H(B1)无界;若φ:22B2→B1是解析映射,则Cφ:H(B1)→H(B2)始终是有界的.这说明由B1到B2的解析映射诱导的复合算子‘‘大多’’是无界的,而由Bn到Bm(n>m)的解析映射诱导的复合算子‘‘大多’’是有界的.本文旨在讨论这些复合算子的有界性等性质,特别地,讨论了由保测内映射诱导的复合算子.2 复合算子的有界性定义1设μ是Bn上的测度,称μ是σn2Carleson测度,如果存在常数C>0,使得μ[S(η,
7、t)]FCσn[Q(η,t)](Pη∈Sn,t>0),其中S(η,t)={z∈Bn
8、
9、1-〈z,η〉
10、11、
12、1-〈z,η〉
13、0,使得2322∫
14、f(z)
15、dμFC′
16、f(ζ)
17、dn(ζ)(Pf∈H(Bn)),B∫Snn3(ζ)=lim33(z)此处ff(rζ)(Pζ∈Sn)是f的径向极限.有时也用f表示BŠn上的函数:f-r→1=limf(rz)(z∈BŠn
18、).-r→1引理2(B.D.MacCluer[7])设μ是Sn上的正测度,使得nμ[Q(η,t)]FCt(η∈Sn,t>0),∞(S),‖g‖则dμ=gdσn,其中g∈Ln∞FC′,C′是C与某个依赖于n的常数之积.n注因σn[Q(η,t)]≈t,故引理2中的不等式等价于μ[Q(η,t)]FCŽσn[Q(η,t)](η∈Sn,t>0).22定理1设φ:Bn→Bm是解析映射,则Cφ是H(Bm)到H(Bn)的有界算子当且仅当μ=σn-133(ζ)=limφ(rζ)(Pζ∈
