dirichlet空间上的复合算子

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2001年4月四川大学学报(自然科学版)Apr．20o1第38卷第2期JoumalofSichuanUniversity(NaturalSdenceEdition)Vol_38No．2文章编号：0490—6756(2001)02—0162—04Dirichlet空间上的复合算子王晓宏，曹广福(四川大学数学学院，成都610064)接耍：使用棱函数证明Diriehlet空间上的复合算子是Fredholm算子的充要条件，其符号为单位圆上的自同构，同时对这类复合算子的谱进行

2、了研究关奠词。胁d．Iet空间；复合算子；Fred~lm算子；紧算子中圈分类号：O177文献标识码：A1引言‘设是单位圆D到自身的非常值解析映射，则定义复合算子为：<，)=f。，其中f∈H(D)．我们主要研究定义在Dirlchlet空间上的有界复合算子．Ditichlet：空间9定义为9：{f∈H(D)：IIJD12dA／Tr<。。J，其中dA表示Lebesgue面积测度，相应的范数II川：I，(0)I+II厂12dA／丌．从几何上看，f∈9当像，(D)有有限面积，且有几重算几次．Diriehlet空问是一簇Hi

3、lbert空间，口>一1的特殊形式，我们称后者为加权Dirichlet空问，其中9o=tf∈H(D)：JI厂(z)12(1一I12)oda(z)一l则甄+2-_A2，并且其中范数等价．而当一1

4、一些简单性质．我们主要讨论的核函数及其应用，以及复合算子谱的一些性质．2Dirichlet空间的核及其应用我们知道，对于熟悉的Bergman空间L(D)以及Hardy空间，都有相应的再生核函数，分别为K(z，∞)=1／(1一)与c(，)：1／(1一)．对于Dirichlet空间，其核函数K()：1+三三三二(；)w／n：1+h(1一)．在9上，内积定义为(，，g)：，(0)i+l／／丌．这与前面的再生核有很大的差别，使用K()的再生性质，可使一些问题的证明显得十分简单．定理1设A为9上一有界线性算子，则A为复合算

5、子的充要条件为AK是再生桉，其中K为再生核．证明：设A=，则(，，AK)：(Af，Kz)=((，)，)=

6、)为一解析函数．即AJr(z)=f((z))所以A为复合算子，从而得A=．在文[2]中，作者对(一1<<0)给出，若为~edholm算子，则为自同构下面我们就a=0，即Diriehlet空间的情形予以证明定理2设是单位圆D到自身的解析映射，则下列各条等价a)C为Fredholm算子；b)C可逆；c)为D—D的自同构．证明c)b)a)是显然的，下面仅须证a)c)．首先我们证明是一对一的．(1)若是常值函数，则百_仅由常函数组成，当然与的Fredholm性矛盾．这是因为dimker=o。．(2)往证在每一点的邻域内是

7、单叶的．假设不成立，则存在_点C-D，对其任意邻域U，『U都不单叶．那么可以找到z点的一列邻域{}，满足[一1且l是不单叶的．因此存在，C-满足z≠，而(z)：()我们得到两列互不相等的点列{}，{{，满足()=(五)．因而1K一K}是不相关的，但(K一Kz：)=K)一J()=0，这又与c的Fredholmt~．因此在每点的邻域内单叶．(3)现在证在D上单叶，否则存在两点a，bC-D，a≠b，但(a)=(6)．当然存在a，b的邻域U(a)，U(b)满足『U(n)，lU(b)单叶，u(a)nU(b)=．且(U(a)

8、)n(U(6))为一非空开集令{}是(U(。))n(U(b))中的一列互不相同的点列，则得到点列{al，{b}，其中aC-()n【，(n)，C-(叫)n【，(6)，则(K一K，G)=(c；(K一K)，，)=