竞赛数学：相交线与平行线

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1、竞赛数学：相交线与平行线在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查.   【例1】请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数.   【思考与分析】本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明.   解：（1）如图1，三条直线互相平行，此时交点个数为0；   （2）如图2，三条直线相交于同一点，此时交点个

2、数为1；   （3）如图3，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；   （4）如图4，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2.   综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个.   （如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？请大家思考一下.）         反思：求解中（2）、（3）两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时，我们一定要注意分类.   【例2】（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直

3、线相交，并简单说明画法.   （2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.  【思考与分析】“6条直线相交且任意3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于（2）中所求，可以根据（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图.   解：（1）在平面上任取一点A，过A作两直线m1与n1.在n1上取两点B、C，在m1上取两点D、G.过B作m

4、2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交.   （2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.　    　理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点，共有3×7＝21

5、个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.   反思：本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（     ）对.   A.4对  B.8对   C.12对  D.16对   【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD被直线EF所截”、“直线AB和

6、CD被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.   【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例4】有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只

7、有一名交警执勤，请你画出公路示意图.   【思考与解】我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点，现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这种情况下，通常采取两种办法：（1）多条直线共点；（2）出现平行线.根据题意，方法（1）不能实现，所以想到使用平行线.在某一方向上有5条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点，所以这个方向上最多可取5条平行线

8、，这时还有4个点要去掉，换一个方向取3条平行线，即可再减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行即可，如图所示：   【小结】本题考查我们对知识的综合应用能力，在做题时，要牢牢把握平行线的性质，与图形结合，从简单的图形推理找出问题的入手点.【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF，作出平移后的正方形能有几种作法？      【思考与分析】据题意，平移是指正方形整体平移，只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图，作法有如下几个：   作法1：过