相似矩阵及二次型11

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1、第五章相似矩阵及二次型定义1内积第一节向量的内积一、内积的定义及性质内积的运算性质长度，定义2二、向量的长度及性质长度的基本性质内积性质(iv)(1)(非负性)(2)(齐次性)(3)(三角不等式)数乘的长度=数的绝对值乘长度许瓦兹不等式和夹角许瓦兹不等式:定义3.非零n维向量规定为:解:注意:三、向量的正交性及其性质证明问题:线性无关的向量组是否为正交组?例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.４向量空间的正交基即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解５规范正交基例如同理可知６求规范正交基的方法第二步：单位化.取例２用施密特正交化方法，将向量组正交

2、规范化.解先正交化，取以上所讨论的正交规范基的求法,通常称为施密特(Schmidt)正交化过程.再单位化，得正交规范向量组如下例3解把基础解系正交化，即为所求．亦即取1.定义62.简单性质四、正交矩阵行则称A为n阶正交矩阵.结论方法一、用定义方法二、用结论正交3.正交矩阵的判定方法二.P的行向量是单位向量.P的行向量两两正交.解.方法一.例4设A为正交阵，B为与A同阶的对称阵，求解由条件知则任意两个变换后的向量y1,y2的内积:4、正交变换定义正交变换。正交变换不改变向量的内积和线段的长度旋转变换是正交变换镜面反射是正交变换§2.特征值与特征向量一、特征值和特征向量的概念二、特征值和

3、特征向量的计算方法三、特征值和特征向量的性质方程组:一、特征值和特征向量的概念称为A的特征阵.行列式:特征多项式.称为A的特征方程.定义8.存在n维非零列向量X,使①特征值.特征向量.特征向量非零。注意：如对及则数是矩阵A特征值,是矩阵A的对应于特征值2的特征向量有(1).证明:X≠0.按定义非零解.根据定义8，①式可写成:②二、特征值和特征向量的计算方法(2).在复数范u围内,n阶方阵有n个特征值.例1.求对角方阵00的特征值.解:00求方阵A的特征值和特征向量的步骤：（1）求出特征方程的所有解，它们就是A的全部特征值（2）分别把A的每个特征值代入方程组得到分别求出它们的基础解系：

4、则所有向量的非零线性组合就是A的属于的全部特征向量例求A=的特征值与特征向量解（1）求特征值由则A的特征值和（2）求特征向量对于即：也即所以对应的特征向量可取为：因此属于特征值3的全部特征向量为对于即也即所以对应的特征向量可取为：其中k取遍所有非零数.因此属于的全部特征向量是例求A的特征向量解求特征值求特征向量对于,A的特征值（二重）和即：由于系数矩阵的秩为2，故基础解系只有一个因此属于的全部特征向量是非零解，解得对于同上方法解得其中k取遍所有非零数因此属于的全部特征向量是例求的特征值和特征向量解求特征值所以A的特征值为求特征向量将代入得作为基础解系，于是A的全部特征向量为取单位向量

5、组这个方程组的系数矩阵是零矩阵，所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系，例4证已知矩阵题在求行列式时特别有用A可逆特征值均不为零2.特征值的和、积公式题.设矩阵A和B有相同的特征值，其中求a,b的值3.特征值与矩阵运算的关系重要的公式140A+3E的特征值：4,2,5例5利用特征值求行列式4,1,4.题证定理4三、特征向量的相关性再左乘A²……，将上列各式合写为矩阵的形式：左乘A定理3.定理5线性无关。其行列式为范德蒙行列式例证由题知反证同一特征值的特征向量的线性组合仍是这一特征值的特征向量分属不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量