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1、方阵的特征值与特征向量相似矩阵矩阵的对角化对称矩阵的对角化二次型的标准形与正定性第四章相似矩阵及二次型本章内容7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型一特征值与特征向量的概念第16讲方阵的特征值与特征向量是A的特征值，定义1n阶方阵A，若使得eigenvalueeigenvector是A的对应于的特征向量.注1是A的特征值、特征向量是的根,是的非零解.注2在复数域内特征值一定存在，且n阶矩阵有n个特征值（重根按重数计算）特征多项式特征方程注3对应于一个特征值的特征向量有无穷多个则称7/18/2021河北科大理
2、学院第五章相似矩阵及二次型例1求下列矩阵的特征值与特征向量7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型二特征值与矩阵的关系例2(08)矩阵A的特征值为λ,2,3,λ未知.则λ=7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型(1)是的特征值;三各种运算下的特征值的特征向量,则(2)是的特征值;(3)是的特征值;(4)是的特征值(若A可逆);(5)是的特征值.定理1设是矩阵A的特征值,是A的对应于特征向量？与有相同的特征值.定理27/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型例3设三阶矩阵A的特征值为
3、1,-1,2,求定理3不同特征值对应的特征向量一定线性无关.例4设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为,证明不是A的特征向量7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型第17讲相似矩阵一矩阵的相似P——相似变换矩阵.定义2设A、B均为n阶方阵,若存在可逆阵P,使得则称B是A的相似矩阵,或称A与B相似,注矩阵的相似关系满足反身性/对称性/传递性similar定理4若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式,推论若A与对角阵相似，则即是A的特征值.从而有相同的特征值.注若A与对角阵相似，则7/18/2021
4、河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型推论若n阶阵A的n个特征值互不相等,则A可对角化二矩阵可对角化的条件n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量定理5(可对角化的条件)例5设问x为何值时，矩阵A可对角化？的基础解系所含向量个数时，A可以对角化注若A有重特征值,则其重数等于代数重数=几何重数A可对角化指的是(对角阵),使得A与相似.7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型第一步第二步求A的特征值(s个互不相等)注相似变换矩阵P不唯一.例把方阵A对角化指的是寻找相似变换矩阵P，三矩阵对角化的过程对于每一特征值
5、,求齐次线性方程组的基础解系使得第三步以为列构成矩阵P，则7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型第18讲对称矩阵的对角化一正交向量与正交矩阵1向量的内积定义3设有n维向量称为向量x与y的内积,即实际上,innerproduct性质记作且7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型2向量的长度注1零向量的长度为零.为向量x的长度(或范数).length定义4设称注2单位向量x:若则为单位向量且只有零向量7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型3正交向量与正交向量组注1零向量与任意向量正
6、交.定义5称向量x与y正交，若orthogonal注2正交向量组——两两正交的非零向量组．定理6正交向量组一定线性无关.注反之不然.例如,向量组例6已知正交,使得为两两正交.求一非零向量注规范正交基——两两正交的单位向量构成的基7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型施密特(Schmidt)正交化过程：线性无关向量组为正交向量组且与等价例7已知向量使得两两正交.求一组非零向量7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型4正交矩阵与正交变换定义6(即),若方阵A满足则称A为正交(矩)阵.orthogo
7、nalmatrix例8判别下列矩阵是否为正交阵．A的行(列)向量组为两两正交的单位向量.注A是正交阵7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型注正交变换保持向量的长度及正交性不变正交阵的性质：(3)若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵(2)若A为正交阵，则也是正交阵(1)若A为正交阵，则为正交变换.若A为正交阵,则称7/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型二对称矩阵的特征值、特征向量定理7对称阵的特征值为实数.注n阶对称阵在实数范围内一定有n个特征值.定理8对称阵的不同特征值对应的特征向量正交.7
8、/18/2021河北科大理学院第五章相似矩阵及二次型三对称矩阵的对角化定理9对于n阶对称阵A,一定存在正交阵P,使得使为对角阵.例9设求一个正交矩阵P,推论对称阵A的特征值的代数重数=几何重数的正交单位特征向量.征值，而P的n个列向量是A的对应于其中，对角阵的对角元是A的n个特7/18/2021河北科大
