2018年高中数学数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教a版

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1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念预习课本P102~103,思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么?复数集如何分类?  (2)复数能否比较大小?复数相等的充要条件是什么?纯虚数、虚数、实数、复数关系如何?     1.复数的有关概念我们把集合C=中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所成的集合C叫做复数集.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.[点睛] 复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集

2、,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是代数形式.2.复数相等在复数集C=中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.3.复数的分类对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.这样,复数z=a+bi可以分类如下:复数z[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系1.判断(正确的打“√”,错误的打“

3、×”)(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.(  )(2)若a为实数,则z=a一定不是虚数.(  )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.(  )答案:(1)× (2)√ (3)√2.(1+)i的实部与虚部分别是(  )A.1,         B.1+,0C.0,1+D.0,(1+)i答案:C3.复数z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有(  )A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠1答案:B复数的概念及分类[典例] 实数x分别取什么值时,复数z=+(x2-2x-15)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[解] (1)当x满足即

4、x=5时,z是实数.(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.复数分类的关键(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z=a+bi(a,b∈R),则①z为实数⇔b=0,②z为虚数⇔b≠0,③z为纯虚数⇔a=0,b≠0.④z=0⇔a=0,且b=0.      [活学活用]当m为何值时,复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,m∈R,是实数?是虚数?是纯虚数?解:∵

5、z=(m2-3m)+(m2-m-6)i,∴(1)当m满足m2-m-6=0,即m=-2或m=3时,z为实数.(2)当m满足m2-m-6≠0,即m≠-2且m≠3时,z为虚数.(3)当m满足即m=0时,z为纯虚数.复数相等[典例] 已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,则实数m的值为________,方程的实根x为________.[解析] 设a是原方程的实根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以a=-且2-+3m=0,所以m=.[答案]  -[一题多变]1.[变条件]若将本例

6、中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi如何求解?解:设实根为x0,代入方程,由复数相等定义,得解得或因此,当m=-2时,原方程的实根为x=1,当m=2时,原方程的实根为x=-1.2.[变条件]若将本例中的方程改为:3x2-x-1=(10-x-2x2)i,如何求解?解:设方程实根为x0,则原方程可变为3x-x0-1=(10-x0-2x)i,由复数相等定义,得:解得或因此,当m=11时,原方程的实根为x=2;当m=-时,原方程的实根为x=-.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问

7、题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.    层级一 学业水平达标1.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是(  )A.3-3i        B.3+iC.-+iD.+i解析:选A 3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A.2.4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为(  )A

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