§20导数的应用

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1、扬中市第二高级中学2013届高三数学教学案第24课导数的应用【复习目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．【重点难点】了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，会用导数求函数的极大值、极小值、最大值、最小值．【自主学习】一、知识梳理1.导数和函数单调性的关系：(1)若在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，

2、b)上是增函数，(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。2.利用导数求解函数极值与最值：(1).极值的定义：极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有就说f(x0)是函数f(x)

3、的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点(2).求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数f′(x)②求方程(x)=0的根③如果在x0附近左侧，右侧，那么f(x0)是极大值。如果在x0附近左侧，右侧，那么f(x0)是极小值。(3)极值的性质：①极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小②函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个③极大值与极小值之间无确定的

4、大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点(4)利用导数求函数的最值步骤:①求在内的极值；扬中市第二高级中学2013届高三数学教学案②将的各极值与、比较得出函数在上的最值二、课前预习：1.函数是减函数的区间为2.函数,已知在时取得极值,则3.函数＝在区间上的最大值与最小值分别是4.已知函数y＝－x2－2x＋3在区间上的最大值为,则a等于5.若函数y=有三个单调区间，则b的取

5、值范围是【共同探究】例1.已知函数与的图象都过点P且在点P处有相同的切线.(1)求实数的值;(2)设函数,求的单调区间,并指出在该区间上的单调性.例2.已知函数(1)求的单调递减区间;(2)若在区间上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.扬中市第二高级中学2013届高三数学教学案例3.已知函数当时,y的极值为3.求:(1)a,b的值;(2)该函数单调区间.例4.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)若g(x)=,证明当x>1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方。例5.

6、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);(2)是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。扬中市第二高级中学2013届高三数学教学案【巩固练习】1.若函数y＝x3－2x2＋mx,当x＝时,函数取得极大值,则m的值为2.与直线＝0平行,且与曲线y＝相切的直线方程为.3.（1）函数的单调增区间是（2）函数的单调减区间是4.函数在上的最小值是5.函数

7、,当且仅当时有极值,且,则6.设函数图象在处切线与直线平行（1）求的值（2）求函数在区间上最小值7.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导数(x);(2)若(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.（3）若f(x)在上都是递增的，求a的取值范围。