数列易错题分类剖析

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1、数列易错题分类剖析江苏省丹阳高级中学史建军（212300）数列是高中数学的重要内容之一，因此成为历年高考考查的重点与热点。但有些同学在数列解题过程中，因概念理解不透，审题不严，考虑不周或忽视隐含条件而导致的错误时有发生。为此，本文将数列中的易错题归类剖析，供同学们学习时参考。1、忽视项数n的起始值导致错误数列可以看作是定义在自然数集或它的子集上的函数，而函数的学习中要注意它的定义域，因此，学习数列中也应注意它的定义域，即项数n的起始值问题，否则会导致解题失误。例1已知数列的前n项和为，当时，，求错解：当时，，………………………⑴∴…………………………………

2、……⑵以上两式相减，得，即…………⑶∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，∴.剖析：由于没有注意n的起始值问题致错，事实上，⑴中，⑵中，从而⑶中应当，所以数列从第二项起才是等比数列。显然，所以正确的通项公式为2、忽视等比数列中的每一项都不为零导致错误由等比数列的定义知，等比数列中的每一项均不为零，在解题中容易忽视此条件而导致解题失误.例2若数列的前n项和为，则数列是……………（）A、等比数列B、等差数列C、可能是等比数列，也可能是等差数列D、可能是等比数列，但不可能是等差数列错解：由，易求得，故选A.剖析：当时，，此时是等差数列，但不是等比数列，综合以上

3、可知答案应选C.3、忽视题设条件导致错误例3四个实数成等比数列，前三项之积为1，后三项之和为，求其公比。错解：设这四个数为，由题意得：3由⑴得，把代入⑵，并整理得：，解得或(舍去)。故所求的公比为.剖析：上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为，则公比为正数。但题设并无此条件，因此导致结果有误。正确解答为：设四个数依次为，则：由⑴得，把代入⑵，并整理得：，解得或(舍去)。故所求的公比为或.4、忽视项数导致错误例4等比数列的和等于.错解：当时，；当时，剖析：上述解法忽视求和公式中的项数而致错。事实上，的项数为n+1，故当时，；当时，5、忽视成立的条件导致错误

4、数列的通项与前n项和的关系为，故由求时需分n=1和两种情况讨论，有的同学容易忽视而导致解题失误。例5若数列的前n项的和为，求.错解：剖析：上述解法忽视了公式成立的条件，正确的通项公式为，故数列从第二项起为等差数列，从而数列从第二项起是等差数列，所以36、忽视特殊情况导致错误例6已知各项均不为0的等差数列，求证：错证：设数列的公差为d，则∴左边==右边.剖析：上述证明过程因用到，故只有在时成立，忽视了特殊情况，本题需分与两种情况证明（证明过程略）。7、忽视公比的三个“盲”点导致错误等比数列中关于公比有三个“盲点”：0，±1，①公比是决定公比的首要条件；②公比

5、是使用等比数列求和公式的前提条件；③公比是一个较为隐蔽的条件。这三个盲点始终伴随着公比，稍有不慎，就会不知不觉地犯错误.例7⑴设等比数列的前n项和为，若成等差数列，求数列的公比⑵若是等比数列的前n项的和，试判断是否为等比数列？错解：⑴由已知，得，由等比数列的求和公式得：，化简得：或或.⑵，同理所以成等比数列。剖析：⑴显然与均不是所求的解。正确解答应分与两种情况讨论。当时，显然题设条件不成立；当时，同上可求得.⑵事实上，当，m为偶数时，不成等比数列。因此在求解时应考虑分类讨论。3