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1、数列易错题剖析-、忽视对项数门的讨论:例仁己知数列｛色｝的首项q=l,通项陽与前门项和S〃之间满足an=-2SnSn^n>2),求数列｛色｝的通项公式。【错解】・5二s”-s“・・・S”-S,j=-2S”S“即+-占=2,»-1•••｛£｝是以1为首项,2为公差的等差数列,—=1+(/?-1)x2=2h-1,即S,.=——!—S“”2,7-1an=Sn-S“_]-2(2n-l)(2n-3)【剖析】上述解法忽视了对项数〃的讨论致错。【正解】•••当比n2时,an=Sn-St•・・S〃—S”防一2SQ-,即右一亠二2,71
2、-1•••｛£｝是以1为首项,2为公差的等差数列,—=1+(/?-1)x2=2h-1,即S”=——!—S”2n一1所以当h>2时，①二S〃一S”」-2(2n-l)(2n-3)又当〃=1时，坷=1不满足上式,(2/1-1)(2/?-3)9~2练习:1.设数列的前料项和为Sfi=n2+2n+4(neN+),求这个数列的通项公公式解.咒=1时，勺=S]=7,兇》2时，an=SH-S“_[=2/7一1[7(归)因此数列的通项公式是色=〉」、n[2/?+1(/7>2)2.已知数列匕｝的前n项和S”满足log2(S„+1)=z?+I
3、,求数列匕｝的通项公式。解：•・・10g2(S”+l)=〃+l・・・S”+1=2n+i,Sn=2曲一1当”=1时，绚=S
4、=3当n>2时，・・・｛色｝的通项公式为色3(/?=1)T(/?>2)二、忽视等比数列的前门项和公式=的使用条件：q^li_q例2、求和：(a-1)+(a2-2)+(a3-3)+-+(an-n).【错解】S=(a+(a2+a3+-+an)一(1+2+3+・・・+门)=口°_口)_料⑺+“1-a2【分析】利用等比数列前门项和公式时，要注意公比q的収值不能为1.【正解】S=(a+(a2+a3+-+an)—
5、(1+2+3+・・・+门)当心时，s=T当"1时，s=心。-巴凹21-a2练习：1.等比数列仏”｝的前兀项和为S”，S3+S6=259,求公比—解：若q=1,则S3=3®,S9=9d],S6=6%•••9a}=2x9at•・•eH0・•・矛盾•・g工1.%(i~V)+%(i~V)=2®(i-q9)l_g-q-q・・『(2q6—『a・•gH0・・2g6_q3_]=o・・(2"+1)(才_1)=0••qH1•・2q34-1=0-V4=2.求和1+2x+3xJ+…1o解：若兀=0,则Sn=1若21,则s〃=也也2若兀H
6、0,且XH1令S*—1+2x+3x~—nx'11则xSn=x+2.x~+3兀"+…+(/7—l)x"1+/ix"两式相减得(1—兀)S“=1+x+x~+・・・+兀"1—nxn°1-兀"nxn・•・Sn=rw(1-x)21-x3.求和(x+—)2+(x2+A)2+(xn+—)2解：当x2=1吋Sn=4n当x2^1时(兀2"_])(兀2“+2_1)x2/,(x2-l)+2n三、忽视公比的符号例3、已知一个等比数列｛色｝前四项之积为116笫二、三项的和为血，求这个等比数列的公比.【错解】•・•四个数成等比数列,可设其分别为二,
7、仝,aq,aq',则有《qq16-~-aq=>/2q=或q二一血±1,故原数列的公比为q1=3+2近或q1=3_2逅【分析】按上述设法，等比数列｛色｝的公比是是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。03=—,49【正解】设四个数分别为a,aq,aqS(iq',则16,.・・(1+q)4=64/aq+aq1-由q>0时，可得q，—6g+1=0,.・.q=3±2/2;当gvO时，可得亍+10g+l=0,.^=-5-4/6练习：1、等比数列｛%｝中，若色=一9，=-1,则色的值为解：T｛%｝是
8、等比数列，/.a3,a5,如成等比，=(_9)(-1)=9,a5=±3,色，g如是仏”｝中的奇数项，这三项要同号。四、缺乏整体求解的意识例4、设等比数列仏｝的全斤项和为S”•若53+56=259,求数列的公比g・【错解】・・・Ss+S6=2S9，・・.4(1—H)+®(1—b)=2®(l—Q),-q-q-q整理得b(2b—q3_i)=o,由?H0,得方程2g6-『_]=o,即(2b+l)(『_l)=0,I分析】在错解中，由皿+4=2•晋_q整理得q2q6-q3-r)=0,时,应有a】HO和qHl。在等比数列中，
9、是显然的，但公比q完全可能为1,因此，在解题时应先讨论公比g=l的情况，再在qHl的情况下，对式子进行整理变形。【正解】若q=i9则有S3=3a{,S6=6at,S9=9at.但⑷工。,即得S3+S6^2S99与题设矛盾,故qHl.又依题意驚yy=>q3（2q6-q3-D=0,B卩（2亍+1财—1）=0,3/7因为g
