复变函数与积分变换练习册参考答案

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1、第一章复数和复变函数一、单项选择题ADBCDA二、填空题41、(1)z=5，arctan()−π。3132(2)实部为−，虚部为−。252522提示：本题注意到(1−=ii)−2，(1+ii)=2。则5222(1−−ii)1[(1−)](1−−−ii)1(2)(1−−i)1132zi====−−。5222(1++ii)1[(1+)](1++i)1(2)(1i++i)12525−+1313−−(3)复数为+i。222−iπ13−+1313−−提示：本题相当于解ze=+3(1i)=(−−+ii)(1)=+i。2222πiz15π5

2、π(4)zz的指数式2e12，1的三角式为[cos+isin]。12z212122zz+−−22zz3(5)lim=。2z→1z−12zz+−−22(zzz+−2)(z1)z+23提示：lim==limlim=。2zz→→11zz−−1(1)(z+1)1z→1z+2(6)z=−+13i。5πππ提示：（利用复数的几何意义）向量z−2与向量z+2夹角为−=，在复平面上，632代表复数z−2、z、z+2的点在平行于x轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2π化）。连接0，z+2，z−2的三角形为RtΔ。因此推出向量z=2，argz

3、=，即31z=−+13i。本题也可以利用代数法来做。三、计算与证明1、把复数z=1−cosα+isinα,0≤α≤π化为三角表示式与指数表示式，并求z的辐角主值。(可参照例题4)222αα解：（解法一）r=−(1cos)αα+sin=4sin=2sin；因为当0<<απ时，22sinααsinα>0，1cos−>α0，则argz==arctanarctan(cot)1cos−α2π−−απααπα−==arctan(tan)，所以1cos−+=ααisin2sin(cos2222π−απ−απ−ααiαi+isin)=2sin

4、e2。即1cos−α+isinα=2sine2。上式对于α=0及222α=π时也成立。2ααα（解法二）利用三角公式，有1cos−+=ααiisin2sin+2sincos222ααααπ−απ−α=+2sin(sin2cos)ii=2sin(cos+sin)……三角表示式222222π−ααi=2sine2…………………………..指数表示式。2552、解下列方程(1+=−zz)(1)。分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。5⎛⎞1+z解：由直接验证可知原方程的根z≠1。所以原方程可改写为⎜⎟=1。⎝⎠1−z1+z5令ω

5、=，……………(1)则ω=1，……………………(2)1−z2468ππππiiii2468方程(2)的根为ω=1,,,,eeee5555。即ω=eiα，α=0,,,,ππππ。但5555αααiα2sin(sin−+icos)ωα−−11eicoss+−inα1222由(1)z====ωαiααααα++11eicoss++in12cos(cos+isin)2222αα2468=itan。故原方程的根为zi=tan，其中α=0,,,,ππππ。22555513、函数ω=把z平面上的下列曲线映射成ω平面上怎样的曲线?z22(1)

6、x=3;(2)(1xy−)+=1且y>0。111uiv−解：(1)令zxi=+y，ω=+uiv，ω=⇒=z。即xiy+==。因此22zωuivuv++u−v1x=，y=。而已知曲线方程为x=3。故z平面上直线x=3在ω=下2222uv+uv+z221的像曲线为uvu+−=0，这是ω平面上过原点的圆周。322x11x−y(2)方程(1xy−+=)1化为=，而ω=⇔=uv,=。。因222222xy+2zx+yx+y1此所求的像恰为u=且v<0（∵y>0）。222224、证明：zzzz++−=2(zz+)，并说明其几何意义。1212

7、12222证明：（利用公式zz=z）左式=zzzz++−=++()zzzz()1212121222+−()zzzz()−=222zzzz+=(zz+)，得证。1212112212几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。itn15、如果ze=，证明zi−=2sinnt成立。nznt1iin−−tnintint证明：ze−=−()()e=−=een2isint。得证。nz1zz6、设fz()=−()(z≠0)，试证：当z→0时，f()z的极限不存在。2izziiθθ−iθ−iθ1rere证明1：令zr=e，zr=

8、e，则fz()=−()sin2=θ。因为−−iiθθ2irerelimfz()=0，limfz()1=。所以，f()z在z=0无极限。z→0z→0argz=0πargz=42212zz−⋅Reziz2Im2RezzIm2xy证明2：fz()====。令z沿直线y=kx2222