53平衡方程式平衡方程式平衡方程式平衡方程式

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1、5.3平衡方程式555-1節曾提及物體平衡的充要條件為ΣF=0,ΣM=0。O當物體受一xy力系作用，此力系可分解為x,y分量，故二維平衡方程式為Fx0F0(5-2)yMO0其其其其其其其其ΣF,ΣF表物體上作用力之x,y分量的和，ΣM表物xyO體上作用力對垂直於x−y平面之軸，且軸與平面焦點O之力矩和，此O點可位於物體內或物體外。
⊝Ḅᐸ雖然(5-2)式經常被用以求解共面力系的平衡問題。另外兩組平衡方程式也常被應用。其一為ΣF=0aΣM=0(5-3)AΣM=0B應用此方程式必須A,B點不在a軸的垂線上

2、。欲證明(5-3)式，以圖5-12(a)說明，4-8節曾指出力系可以用一單力F=ΣF及力偶矩取代M=ΣM，圖5-12(b)欲使平衡，RRAA須F=0及M=0，即若(5-3)式ΣM=0必須M=0。RRAARA欲使F滿足ΣF=0，則在a軸上沒有分量，即其作用線與Raa軸垂直。圖5-12(c)，又欲使ΣM=0，其中B點不在F的BR作用線上，故F=0以致圖5-12(a)之物體成平衡。R另一型式之平衡方程式為ΣM=0AΣM=0(5-4)BΣM=0C應用上式A,B,C三點不可在一線上，欲證明此點，須重新考慮圖5-13，若欲滿足ΣM=0，則合力矩M=0，若FAR

3、AR的作用線經過B點，則ΣM=0，若C不在AB線上，欲使BΣM=0，則必F=0，以致圖5-12(a)之物體必成平衡。CR解析步驟　　欲求解共面力系的平衡問題，可依以下步驟求解。分離體圖
建立座標軸x,y，選擇適當之方向。
繪物體之外形。
繪所有作用在物體上之力與力偶矩。
標示負載和方向，力與力偶矩大小未知，但作用線已知時可先假設其指向。
標示必要尺寸以求取力矩。平衡方程式
應用力矩平衡方程式ΣMO=0取O點為兩未知量的交點，如此一來此二未知量之力矩為零，可直接得到第三個未知量。
應用力平衡方程式ΣFx=0,ΣFy=0時，可取x,y沿一最方便方向以得

4、最簡單的方程式。
平衡方程式解釋得負值答案即表示其正確之指向與分離體圖中所示相反。
5-6若樑重不計，圖中各支點的水平及垂直作用力為何？
ᑖᙔ說明分離體圖中各力，將600N力分解成x−y分量以簡化分析過程，又200N力作用於B點與銷接點B,B無關。xy
⊝應用平衡方程式ΣF=0，得x+→ΣF=;0600cos45°N−B=0xxB=424NAns.x應用ΣM=0，即對B點的力矩和為零，可直接求B得A，因200N，B及B對B點之力矩均為零，令逆yxy時針旋轉為政(即+k方向)，圖5-14(b)，得[+ΣM=;0100N2(m)+(600

5、sin45°N)(5m)B−(600cos45°N)(2.0m)−A7(m)=0yA=319NAns.y利用A=319N，對y軸求合力，得y+↑ΣF=;0−(600sin45°N)(2m)−(600cos45°N)(2.0m)y−(100N)(5m)−(200N)(7m)+B7(m)=0yB=405NAns.y例題5-7纜索繞過一無摩擦的滑輪，纜索受力100N，試求A點的水平與垂直分力及繩索C之張力。
ᑖᙔ如5-15(b)作分離體圖時，須特別注意p點纜索及滑輪上的作用力大小相等方向相反，將兩者合成可得如圖5-15(c)。⊝對A點取力矩和

6、已去除A及A並計算Txy得[+ΣM=0;500N2.0(m)−T2.0(m)=0AT=500NAns.纜索上受力為定值，應用T=500N得+→ΣF=0;−A+500sin30°N=0xxA=250NAns.x+↑ΣF=0;A−500N−500cos30°N=0yyA=933NAns.y
5-8圖5-16(a)中銷接於A點之連桿，B點之接觸為光滑接觸，試求支點A的水平及垂直分力。解：分離體圖　圖5-16(b)，N即B點的作用力與連桿成垂B直，A點水平及垂直分力亦如圖。平衡方程式　對A點求取力矩和，可直接求得NB[+ΣM=;0−90N⋅m−60N1(

7、m)+N.0(75m)=0ABN=200NB利用上式結果，可得+→ΣF=;0A−200sin30°N=0xxA=100NAns.x+↑ΣF=;0A−200cos30°N−60N=0yyA=233NAns.y
5-9一板手桿如圖5-17(a)所示，若施加力，於握把上板手未轉動，試求作用在A點螺栓之力矩及力為何？
ᑖᙔ分離體圖如圖5-17(b)所示，因螺栓相當於固定端，故其上有A,A及M之反作用力。xyA⊝+→ΣF=;0A−52(5)N+30cos60°N=0xx13A=.500NAns.x+↑ΣF=;0A−52(12)N−30sin60

8、°N=0yy13A=740.NAns.y[+ΣM=;0AM−52(12)N3.0(m)−(30sin60°N)(7.0m)