波与古典轨迹的连结波与古典轨迹的连结波与古典轨迹的...

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1、電物9421070波與古典軌跡的連結賴國瑋從量子力學的薛丁格方程式，我們可以解出物質的波函數，可是波函數是以波的數學形式寫下來的，和我們一般視物質為粒子的觀念大不相同。然而量子力學勢必要和古典有所連接，畢竟我們看到的古典現象是事實。唯一能連結波和粒子特性的東西，就只有deltafunction了(在此指的是在某區域間有特大峰值即可)，因為好多個波以不同的相位相疊加(因為薛丁格方程式線性的，所以其解作線性疊加仍為其解)，就可以疊出deltafunction，而deltafunction就和我們熟知的粒子特性相契合。首先

2、寫出三個用平面波疊加的deltafunctions：1i(m−m)'φedφ=δ∫m,n---------------(1)2πφMsin[(2M+)1]ikφ2∑e=φ---------------(2)k=−Msin2∆k∆kk0+sin(x)2ikxik0x2∫edk=ex---------------(3)∆kk0−22因為這三個式子後面的推導會用到，扮演重要的角色，所以先列出來。CircularBilliard為了形成古典的面貌，現在舉circularbilliard(圓形彈子球檯)為例子。circular

3、billiard的位能條件為V=∞,r>a；V=0,0

4、unction經過一番疊加形成平面波exponential的形式。z=kr所以令iθt=e1iθ−iθ∞kr(e−e)2inθ⇒e=∑Jn(kr)en=−∞1∞kr2i⋅sinθ2inθe=∑Jn(kr)en=−∞∞ikr⋅sinθinθe=∑Jn(kr)en=−∞為了讓sin變成cos，我把θ換成θ-ψ+π/2π∞πikr⋅sin(θ−φ+)in(θ−φ+)e2=∑J(kr)e2nn=−∞∞πin(θ−φ+)ikr⋅cos(θ−φ)2e=∑Jn(kr)en=−∞∞πinki⋅r2inθ−inφe=∑Jn(kr)ee

5、en=−∞2πimφ∫edφ兩邊同乘以※以投影的方式取出第m項，用到式(1)02π2π∞πinimφikr⋅cos(θ−φ)2inθi(m−n)φeedφ=eJ(kr)eedφ∫∫∑n00n=−∞∞π2ππinim2inθi(m−n)φ2imθ=∑eJn(kr)e∫edφ=eJm(kr)en=−∞02ππim(φ−)2ikr⋅cos(θ−φ)imθ⇒eedφ=J(kr)e∫m-----------(4)0※等式右邊正是我們之前預期的波的形式。※現在變成平面波疊加成Besselfunction。Superpositio

6、n現在準備要開始疊加了，可是問題重重。第一行進軌跡無窮多種，要選哪一種？第二要選擇哪些states去做疊加？第三要怎麼決定古典軌跡的參數？首先我選的軌跡是「會重複的軌跡」(即p/q為有理數)，再來我選擇的states是古典軌跡的k附近k的states，也就是說那些states擁有的k，是古典附近的k，把那些states疊加起來就會得到coherentstate，而coherentstate就是我們要的軌跡。當初薛丁格就是用這個方法疊加出coherentstate來解釋他的方程式解出來的氫原子電子的波函數雖然是到處分布

7、的，但是經過適當疊加還是會出現粒子的圖像。接著要決定古典軌跡的參數：pp參數：(p,q)；軌跡總長=2aqsin(π)；內接圓半徑=acos(π)≡Rminqq(p,q)=(3,1)(4,2)(5,1)(5,2)從薛丁格方程得知：(其中E為總能，L為角動量，μ為物質質量)L=mh022222hkLLL=E==2=22p2µ2I2µRmin2µ⋅acos(qπ)m0⇒k=←古典軌跡的kpacos(π)q接下來將式(4)的m換成m+qs(即m附近的m)，對s做疊加：00M2ππi(m0+qs)(φ−)2ikr⋅cos(θ

8、−φ)∑∫eedφs=−M02ππMπim0(φ−)iqs(φ−)∫e2eikr⋅cos(θ−φ)∑e2dφ=0s=−Mπq(φ−)22ππsin[(2M+)1]im0(φ−)ikr⋅cos(θ−φ)2e2edφ∫=π(這裡用到(2)式)0q(φ−)2sin2上式大括弧裡的式子，圖形如左圖，但是為了簡化計算，