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1、连续介质力学连续介质力学第一章第一章绪论绪论张量复习张量复习(d)(d)宇航学院力学系2009-03——2009-06韩斌2012.张量函数d第一章若一个量H(标量,矢量,张量)依赖于n个张量自变量ddddT,T,...,T(矢量,张量)而变化,则称H是张量12ndddT,T,...,T的张量函数，记为：绪论12ndddddH=F(T,T,...,T)(1.89)12n张量复习例如：矢量的标量函数动能d1dddddE=E(v)=ρv⋅v力的功w=w(F,u)=F⋅u密度2dd123—张量的标量函数I1=I1(T)=tr(
2、T)=T1+T2+T3张量函数dddddd2张量的张量函数H=H(T)=T⋅T=TdddE胡克定律σ=λII+2μE21各向同性张量函数第一章张量函数的表示形式一般与坐标系有关,有一类函数,其表示形式不因坐标系的刚性旋转坐标系的刚性旋转((正交变换正交变换))而改变,称为各向同性函数。绪论定义：一函数χ=f(X),当将自变量X改变为其旋~~转量X时,函数值χ相应变为其旋转量χ张量复习~~d即χ=f()X,(χ=f(X)对任意正交张量Q)d旋转量的定义：Q为任意正交张量~—标量的旋转量：ϕ=ϕ张量函数~ddd矢量的旋转量：
3、u=Q⋅u~ddddT张量的旋转量：T=Q⋅T⋅Q313.张量场函数的导数d以空间点的位置——矢径x为自变量的张量函数第一章ddd称为张量场函数:T=T(x)1)基矢量的导数Christofell符号绪论dd∂xx32协变基g=zxii∂x张量复习diijd逆变基g=ggjd123x(x,x,x)x1在任意曲线坐标系中在任意曲线坐标系中,,二组二组y基矢均随坐标而变化基矢均随坐标而变化::—dx张量的导数d∂xdkdiijddik即gi=i=gi(x)g=ggj=g(x)∂x引入Christofell符号表示基矢量求导的
4、结果:4•引入第二类第二类ChristofellChristofell符号符号(三指标符号)，令：ddd∂g∂g2d第一章jkdkjdk∂xki=ΓijgkΓij=i⋅g=ij⋅g(1.90)∂x∂x∂x∂xkk∴Γji=Γij(1.91)绪论•将第二类Christofell符号的上指标下降，得到第一类第一类ChristofellChristofell符号符号：ddd∂g∂g2张量复习=kg=j⋅gdkg=j⋅gd=∂x⋅gdΓij,lΓijklkl(1.92)iilijl∂x∂x∂x∂x∴Γ=Γ(1.93)ij,lji
5、,l—1∂gil∂gjl∂gij张量的导数Γ=(+−)(1.94)ij,ljil2∂x∂x∂xkklΓ=gΓijij,l(1.95)5注意:Christofell符号不是张量!2pk′psk′第一章坐标转k′∂x∂x∂x∂x∂xrΓ=⋅+Γ(1.95)换关系ji′′i′j′pi′j′rps∂x∂x∂x∂x∂x∂x不满足张量定义的绪论•协变基对坐标的偏导数：d坐标转换关系∂gikd=Γg(1.96)jjik∂x张量复习用•逆变基对坐标的偏导数：di途∂gidlj=−Γjlg(1.97)∂x—张量的导数•g对坐标的偏导数:j
6、j1∂g1∂(lng)Γ=Γ==(1.98)jiijiig∂x2∂x62)张量场函数对矢径的导数,微分和梯度第一章n阶张量场函数:自变量为矢径的n阶张量函数dddij...dddkdlT=T(x)=T...gg...ggklij绪论ds其分量,基矢量都是矢径x(即坐标x)的函数dd张量复习dddT∂Tdi••张量场的导数张量场的导数::T′(x)=d=g(1.99)ixd∂xd—ddT张量的导数若为Tn阶张量,则为dn+1阶张量。xd7••张量场的梯度张量场的梯度::d第一章ddd∂Tdi右梯度：T∇=T′(x)=g(1
7、.100)i∂x(右梯度即张量场的导数)dddi∂T绪论左梯度：∇T=gi(1.101)∂x左、右梯度均为n+1阶张量,一般是两个不同的张量张量复习ddT仅对标量场有ϕ∇=∇ϕ对矢量场有F∇=(∇F)••张量场的微分张量场的微分::ddddd—dT=(T∇)⋅xd=xd⋅(∇T)(1.102)梯度以上运算均涉及张量场对坐标的偏导数张量场对坐标的偏导数——协变导数协变导数83)协变导数的定义d第一章l将张量场T对坐标x的偏导数在某一组基矢量下分解(以3阶张量为例)：d∂TTijgdgdgdkTjkgdigdgd(1.103
8、)绪论l=k;lij=i;ljk∂xdl定义张量T的分量对坐标x的协变导数为:张量复习ijij∂TkmjiimjijmTk;l=l+TkΓml+TkΓml−TmΓkl∂x(1.104)jk—Tjk∂TiTjkmTmkjTjmk=−Γ+Γ+Γ协变导数i;llmilimliml∂x协变导数也可记为∇)(=)(l;l9对矢
