中档大题保分练(二)

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1、中档大题保分练(二)(推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)－1，x∈R，将函数f(x)向左平移个单位后得到函数g(x)，设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若c＝，f(C)＝0，sinB＝3sinA，求a和b的值；(2)若g(B)＝0且m＝(cosA，cosB)，n＝(1，sinA－cosAtanB)，求m·n的取值范围．解　(1)f(x)＝sin2x－cos2x－1＝sin－1g(x)＝sin－1＝sin－1由f(C)＝0，∴sin＝1.∵0

2、－<π，∴2C－＝，∴C＝.由sinB＝3sinA，∴b＝3a.由余弦定理得()2＝a2＋b2－2abcos.∴7＝a2＋9a2－3a2，∴a＝1，b＝3.(2)由g(B)＝0得sin＝1，∵0

3、选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响．(1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解　(1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－＝.比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P2＝C···＝.(2)由题意知，ξ的取值为2,4,6.则P(ξ＝2)＝2＋2＝，P(ξ＝4)＝C·2＋C·2＝，P(ξ＝6)＝2＝.所以随

4、机变量ξ的分布列为ξ246P则E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.3．如图，几何体ABCD－B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1＝a，E为CC1的中点，F为AB的中点．(1)求证：△DEB1为等腰直角三角形；(2)求二面角B1－DE－F的余弦值．(1)证明　连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以BD＝a，因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，所以BB1∥CC1，又面B1C1D1∥面ABCD，所以B

5、C∥B1C1.所以四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1＝BC＝a，因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，所以DB1＝＝＝a，DE＝＝＝，B1E＝＝＝，所以DE2＋B1E2＝＝3a2＝DB，所以△DEB1为等腰直角三角形．(2)解　取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1.以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D，E，B1，F，所以＝(0，a，a)，＝，＝.设面DB1E的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则n1·1＝0，n·＝0，即ay1＋az1＝0且－ax1＋y1＋

6、az1＝0，令z1＝1，则n1＝(0，－，1)设面DFE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·＝0，n2·＝0即ax2＋ay2＝0且－ax2＋y2＋az2＝0，令x2＝1，则n2＝，则cos〈n1，n2〉＝＝，则二面角B1－DE－F的余弦值为.4．已知n∈N*，数列{dn}满足dn＝，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{bn}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b＝b.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第an项，……删去后，

7、剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2013项和．解　方法一　(1)∵dn＝，∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n.＝＝3n.又由题知：令m＝1，则b2＝b＝22，b3＝b＝23，…，bn＝b＝2n.若bn＝2n，则b＝2nm，b＝2mn，∴b＝b恒成立．若bn≠2n，当m＝1，b＝b不成立，∴bn＝2n.(2)由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{cn}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1＝1，b2＝4，公比均是8，T2013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c201

8、3)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2012)＝＋＝.方法二　(1)an＝d1＋d2＋…＋d2n＝×2n＝3n.由b＝b及b1＝2>0知bn>0，对b＝b两边取对数得，mlgbn＝nlgbm，令m＝1，得lgbn＝nlgb1＝nlg2＝lg2n，∴bn＝2n.(2)