相对误差椭圆

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1、§6-5相对误差椭圆0．5学时一、利用点位误差椭圆评定精度存在的问题在工程应用中，有时并不需要研究待定点相对于起始点的精度，往往关心的是任意两个待定点之间相对位置的精度。在平面控制网中，两个待定点之间相对位置的精度可以用两个待定点之间的边长相对中误差以及方位角中误差或相对点位误差来衡量。在§6-3中曾举例说明如何利用点位误差曲线从图上量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂直的横向误差，从而求出方位角误差。在§6-4中又阐述论证了用点位误差椭圆可以代替误差曲线。但是它们都只能确定待定点与任一已知点之间的边长中误差或方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差

2、，这是因为这些待定点的坐标是相关的。举例说明例[6-4]在某三角网中有和两个待定点。设两待定点的坐标为未知数，用间接平差法进行平差。算出两点的坐标方位角为，未知数的协因数阵为单位为。单位权中误差，试求和点的点位误差椭圆并说明用点位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度。解：(1)点的误差椭圆参数的计算。因为，所以。因此(2)点的误差椭圆参数的计算。按照下式计算点的误差椭圆参数因为；所以因此（3）绘制和点的点位误差椭圆按照1：2的比例绘出两点的点位误差椭圆，见图6-12（4）说明用点位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度。图解法在图6-12上分别作和两点误差椭圆的切线并与边垂直，其垂足点为和，如

3、果利用点位误差椭圆可以图解两未知点之间的边长中误差，则应有，但是，从图6-12中明显可以看出，。计算法对于点来说，方向上的则对于点来说，方向上则。通过上面的例子可以看出，利用点位误差椭圆不能确定任意两个待定点之间相对位置的精度，要解决这个问题，需要用下面介绍的相对点位误差椭圆。二、相对点位误差椭圆设两个待定点为和，这两点的相对位置可通过其坐标差来表示，即(6-5-1)根据协因数传播律可得(6-5-2)如果和两点中有一个点(例如点)为不带误差的已知点，则从(6-5-2)式可以得出因此，两点之间坐标差的协因数就等于待定点坐标的协因数。而在前几节中，所有的讨论都是以此为基础的。由此可见，这样作出的

4、点位误差曲线都是待定点相对于已知点而言的。利用这些协因数，可得到计算和点间的相对误差椭圆的三个参数的公式：(6-5-3)例[6-5]在某三角网中插入和两个待定点。设用间接平差法平差该网。待定点坐标近似值的改正数为(以分米为单位)。其法方程如下。试求和点的点位误差椭圆元素以及和点间的相对误差椭圆元素。解：经平差计算，得单位权中误差为。令表示法方程式系数，则未知参数的协因数为(1)点的误差椭圆参数的计算。按照下式计算点的误差椭圆参数将有关数据代入，可求得(2)点的误差椭圆参数的计算。按照下式计算点的误差椭圆参数将有关数据代入，可求得(3)和点间相对误差椭圆参数的计算。按(6-5-2)、(6-5-

5、3)式，将有关数据代入，可求得则因为在第二、四象限，所以。(4)误差椭圆的绘制根据以上算得的、两点的点位误差椭圆元素以及相对误差椭圆的元素，即可绘出、两点的点位误差椭圆以及和点间的相对误差椭圆，相对误差椭圆一般绘制在、两点连线的中间部分。如图6-13所示： 有了、两点的相对误差椭圆，就可以用图解法量取所需要的任意方向上的位差大小。例如，要确定、两点间的边长的中误差，则可作的垂线，并使垂线与相对误差椭圆相切，则垂足至中心的长度即为。同样，也可以量出与连线相垂直方向的垂足，则就是边的横向位差，进而可以求出边的方位角误差。在测量工作中，特别是在一些特殊测量工程中，如贯通工程、水利工程的大坝、精密施

6、工放样工程中，最关心的是某一个方向的测量精度，因此在控制网设计阶段，往往利用误差椭圆对布网方案进行精度估计和分析，不断地对观测设计方案和网形进行改进，直至估算的结果符合工程建设对控制网所提出的精度要求；或者，设计多种不同的方案，考虑到各种因素，例如，建网的经费开支，施测工期的长短，布网的难易程度等等，在满足精度要求的前提下，从中选择最优的布网方案。