辽宁省高中新课程省级培训

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1、辽宁省高中新课程省级培训数学科讲师团胡文亮Email：gzsxhwlg@163.com导数及其应用专题一、学习微积分的意义1．天地通用微积分：是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想.”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一.”微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进

2、作用.整体介绍2．为研究变量和函数提供了重要的方法和手段：导数是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课.欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命.3．具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力：学习微积分，学生的数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的水平，难以适应21

3、世纪对高中学生素质的要求.4．作为现代社会成员的一项科学文化素质要求：高中学生，不论他将来是否进入高校学习，都应学习导数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的变化，或者在遇到相关问题向数学求助.作为现代社会成员的一项科学文化素质要求，是高中阶段学习导数及其应用的首要目标.一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样.5.合作学习意识的引导与强化:二、编写的指导思想1．打破传统的教学顺序，突出概念本质：越过

4、极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心——微积分基本定理.没有从数学定义的角度讲极限，可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定积分理解为一种特殊的极限.虽然没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础.从历史上看，是先有微积分，后有极限.牛顿和莱布尼兹创立微积分学后，他们并没有解决无穷小量问题.牛顿对

5、无穷小量究竟是不是零曾作过三种不同解释：有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁.直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的发展开来.在教学中应该贯彻两条线.第一，是按照自然的历史的人的认识过程来表述；第二才是严密的公理化的表述.现在对于前者我们重视

6、的太不够了.两个极限典例中国刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少  ，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.外国的阿基里斯追龟永不及：3．返璞归真，强调本质：没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述.努力揭示数学对象的发展过程与本质，领会其中的数学思想方法.4．尽力体现课标理念：直观理解导数的背景，关注其思想和作用，重视其应用价值.贯穿微积分的基本思想方法：无

7、限细分，以直代曲，并在解决问题的实践中逐步领悟.2．理论依据是直角三角形：从登山运动出发，引出导数，直至以测量山顶高度为实际背景，经历概念发展的过程，体会其思想内涵，导出微积分学基本定理.三、教材概述1．与原大纲教材相比内容的调整变化：（1）选修1—1中，导数公式包含所有常见基本初等函数的导数；（2）选修2—2中，新增加了“定积分与微积分基本定理”；（3）所有导数公式都是用导数表给出，不要求学生证明；（4）删除了函数的最大值与最小值一节，相关内容以例题出现；（5）选修2—2中，删除复合函数的导数一节，但

8、有相关的例题和习题；（6）都增设了导数的实际应用——研究最优化问题；（7）用数学软件求导数理科必修，文科选学．2．研究的方法，是直观微积分：通过直观说理学习微积分，而不是不说理；通过数值的近似计算理解微积分思想．不讲极限，但是仍然用极限的符号去表述，只将极限作为一种符号，而不考虑它的意义．它的基本方法是无限细分，以直代曲，用微观驾驭宏观．3.内容概述——理科分为四个大节第一大节：导数．这一节通过具体实例，介绍函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时