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1、复数、推理与证明一、选择题(本大题共12题，每小题4分，共48分。)1．观察下列各式：，，，则的末两位数字为()A．01B．43C．07D．492．a为正实数，i为虚数单位，，则a=()A．2B．C．D．13．i是虚数单位,复数=()A.2-iB.2+iC.-1-2iD.-1+2i4．在数列中，，，则()．A．-2B．C．D．25．已知函数在上是单调函数，当时，都有,且，则和的值分别为()A．B．C．D．6．已知，观察下列式子：类比有,则的值为()A．B．nC．n+1D．n-17．已知,复数的实部为1,虚部为a,则的取值范围是()A．
2、BC．D．8．已知是实数，是虚数单位，若是纯实数，则=()A．B．C．D．9．已知“整数对”那如下规律排成一列:，则第60个数对是()A．B．C．D．10．设的三边长分别为，的面积为s，内切圆半径为r，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为、、、，内切球的半径为，四面体的体积为,则=()．A．B．C．D．11．复数=()A．B．C．D．12．若（其中是虚数单位）则=()A．0B．1C．─1D．2二、填空题（共4题，每题5分，共20分。）13．在复平面内，复数对应的点的坐标为．14．复数（其中为虚数单位）的共轭复数是15．观察
3、下列等式照此规律，第五个等式为．16．设函数，观察：；；；．根据以上的事实，由归纳推理可得：当且时，=三、解答题（共4题,每题8分，共32分。）17．已知，求证：18．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知求证．证明函数：构造函数，则．因为对一切，恒有，所以所以．(1)若，请写出上述结论的推广式；(2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明．19．已知数列的前n项的和为,且(1)求证数列是等比数列并求；(2)已知集合问是否存在实数a使得对于任意的，都有．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．20．设数列是公比为q的等比数
4、列,是它的前n项和．(1)求证：数列不是等比数列；(2)数列是等差数列吗？为什么？复数、推理与证明参考答案1.B【解析】，且的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记的末两位数字为，则，的末两位数字相同，均为43.故选B.2.B【解析】由已知得=，所以3.B解析:由题意可知,整理可得,即2-,根据复数相等的充要条件可知,所以,故选B.4.C【解析】即是以4为周期的周期数列，所以，选C.5.C【解析】把握当时，都有和对应法则.反复赋值，设，由对应法则，可得由又由f(x)在上是单调函数在上是单调递增函数，又知，可知，即，即若时用法则再
5、用法则矛盾，故；若时，用法则，矛盾，故若时，多次用法则，注意到f(x)在上单调函数且当时，都有，则，选C6.A【解析】由观察可得：，则故选A7.C【解析】本题考查复数的模和函数值域的求解.由，得，选C.8.A【解析】本题考查复数的概念和代数运算.，由题意知是纯虚数，解得.选A.9.B【解析】依题意,就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n+1,且每组共n个整数对,这样的前n组一共有个整数对,注意到，因此第60个整数对处于第11组（每组整数对的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依
6、次为：因此第60个整数对是，选B.10.C【解析】设三凌锥的内切球球心为O，那么由即：可得11.A【解析】12.B【解析】由得，，故选B13.【解析】因为，故其对应的点坐标是.14.【解析】，而的共轭复数是.15.【解析】每行最左侧数分别为1、2、、3、，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、所以第n行的个数应为.所以第5行数依次是5、6、7、、13，其和为.16.【解析】观察解析式特征即可归纳一般.17.解:本题主要考察应用分析证明不等式，只需要注意分析法证明问题的步骤即可.因为，所以为了证明，只需证明，即只需证
7、明，即即只需证明，只需证明，即.因为，当且仅当时，等号成立.所以18.【解析】本题考查类比推理和构造函数证明不等式的方法.(1)若，求证：.(2)证明：构造函数，则.因为对一切，恒有，所以，所以19.解:本题考查数列探索性问题的研究方法.（1）当时，当时，由，得，得，变形：，故是以为首项，公比为的等比数列，.（2）当时，，只有时不符合题意.当时，即当时，不存在满足条件的实数.当时，.而因此对任意的，要使只需解得.综上得实数的取值范围是20.解:（1）假设数列是等比数列，则,即，因为，所以，即，这与公比矛盾，所以数列不是等比数列（2）当
8、时，是等差数列；当时不是等差数列，否则,即，得q=0,这与公差矛盾.
