难点10 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题（教学案）-备战2015年高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（解析版）

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1、普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．1　立体几何中的折叠问题[来源:学&科&网]　折

2、叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。例１【2015届湖北省襄阳市第四中学高三阶段性测试】如图,直角梯形ABCD中，，AD=AB=2，BC=3，E，F分

3、别是AD,BC上的两点，且AE=BF＝1，G为AB中点,将四边形ABCD沿EF折起到（如图2）所示的位置，使得EG丄GC，连接AD、BC、AC得（图2）所示六面体．（1）求证：EG丄平面CFG;（2）求二面角A—CD-E的余弦值．思路分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认

4、识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2　立体几何中的最值问题结合近年来全国各省市的高考中，考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现．在解决此类问题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能

5、运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径．例2【2015届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（1）当，是否在折叠后的AD上存在一点，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；（2）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．思路分析：（1）当时，由题意可知，则考虑取点于处，过点作，

6、交于点，由平行线分段成比例定理易知，所以，又因为，所以且，（2）根据题意易知为三棱锥的高，则底面的长为，高为，所以，从而可求出当时，有最大值，最大值为3.9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3　立体几何中的探索性问题[来源:Z。xx。k.Com]探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊

7、化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．3.1对命题条件的探索探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法：1、先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明;2、先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性;3、把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．[来源:学科网ZXXK]例3【2015届河北