广东高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案

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1、3.1.1数系的扩充与复数的概念【学习目标】1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解并掌握虚数单位i与实数进行四则运算的规律.3.理解并掌握复数的概念.【能力目标】识别复数结构特征及其各部的联系,会用相关的运算进行处理数与数的关系。【重点难点】复数及其相关概念,能区分虚数与纯虚数,明白各数系的关系,复数及其相关概念的理解。【学法指导】学习本章内容时,我们引进了一个新数,这个新数的特点是:它的平方等于负一,即,另外我们要特别注意基础知识的学习:虚数的概念,复数Z=a+bi什么时候是实数、虚数、纯虚数,复数的相等,复数的代数运算复数的模等。

2、【学习过程】一.【课前预习】阅读教材P102-104,3.1.1节,思考下列问题:1.N、Z、Q、R、分别代表什么集合?C代表什么?2.判断下列方程在实数集中的解的个数(1)(2)(3)(4).3.思考:若给方程一个解,则这个解要满足什么条件?是否在实数集中?实数与相乘、相加的结果应如何?二.【课堂学习与研讨】1.复数的概念定义复数:形如()的数叫做复数,通常记为(复数的代数形式),叫虚数单位,叫实部,叫虚部,数集叫做复数集.例1.找出下列复数的实部和虚部,,0,,,,,.52.复数集与实数集、虚数集、纯虚数集的关系①思考:复数的代数形式中规定,取何值

3、时,z为实数?z为虚数?z为纯数?复数集与实数集、虚数集、纯虚数集有何关系?②定义虚数:叫做虚数,叫做纯虚数.③数集的关系:例2.当为何值,复数为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解:(1)当复数的虚部为零时,此时复数即是实数;所以,当时,复数为实数0;(2)当复数的虚部不为零时,此时复数即是虚数;所以,当时,复数为虚数;(3)当复数的实部为零,并且虚部不为零时,此时复数即是纯虚数;所以,当时,复数为纯虚数;练一练:当实数为何值,复数为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.参考答案:(1);(2)且;(3)不存在任何实数,使为纯虚数;3.复数相等例

4、3.已知,其中,求的值.解:根据复数相等的条件,实部等于实部,并且虚部等于虚部,两复数才能相等,则。试一试:已知复数,若,则实数的值为。5参考答案:小结:解决复数相等问题的步骤:①等号两侧都写成复数的代数形式;②根据两个复数相等的充要条件列出方程组;③解方程组。4.一般地,两复数不能比较大小,只有等与不等.何时两复数可以比较大小呢?例4.若不等式成立,求实数的值。解:根据题意,只有当复数是实数时,才能比较大小,因此,要使,则要复数的虚部都等于零,并且用实部的大小来比较即可;所以有即实数的值等于2小结:复数比较大小问题的求解方法:一般地,两个复数不一定能

5、比较大小的。若给出的两个复数有了大小关系,则说明这两个复数首先已经是实数,然后才有相应的大小关系;如:已知,(),则必有。三.【课堂检测】1.复数的实部是(D)A.B.C.D.2.若复数是纯虚数,则实数的值为(B)A.1B.2C.1或2D.3.若,且,则0,。4.若,且为虚数,则实数为:。5.如果,求实数的值。5参考答案:.四.【课堂小结】1.熟记复数的相关概念,虚数单位,实部,虚部,虚数,纯虚数及复数集与其他数集的关系;2.识别复数的代数形式,掌握两复数相等的条件;3.两复数一般不能比较大小,只有实数才能比较大小。【课外作业】1.当为何值,复数是(1

6、)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解:(1)当复数的虚部为零时,此时复数即是实数;所以,由,解得,因此,当时,复数为实数;(2)当复数的虚部不为零时,此时复数即是虚数;所以,由,解得,因此,当时,复数为虚数;(3)当复数的实部为零,并且虚部不为零时,此时复数即是纯虚数;所以,由,解得,因此当时,复数为纯虚数;2.已知复数=,是方程的两根,求的值.解:由得:或,当时,复数,不可能相等;5当时,解得,因此,所求的值为3.3.,求实数的值.解:由整理得,因此有,所求实数的值是。5

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