§1.10 闭区间上连续函数的性质

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1、闭区间上连续函数的性质一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山峰,在下午7:00到达山顶,第二天早上7:00再从山顶开始沿着上山的路下山,下午7:00到达山脚.那么:这个运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点.1§1.12闭区间上连续函数的性质介值定理(intermediatevaluetheorem)小结思考题作业最大值(maximum)和最小值(minimum)定理在闭区间上的连续函数有一些重要的性质,这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作为理论的根据.这些性质的几何意义很明显.第一章函数与极限2定义例设f(x)在区间I上有定义,使得当恒有若存在点

2、为函数f(x)在区间I上的最小值,记为则称(大)一、最大值和最小值定理闭区间上连续函数的性质3在闭区间上连续的注(1)定理1中的条件“闭区间”和“连续性”定理1(最大值和最小值定理)函数一定有最大值和最小值.是不可少的.闭区间上连续函数的性质4证由定理1(最值定理),定理2(有界性定理)有取则有闭区间上连续函数的性质5的零点.定理3(方程实根的存在定理)使得零点定理几何意义:如图所示.二、介值定理闭区间上连续函数的性质6定理4(介值定理)使得证零点定理闭区间上连续函数的性质辅助函数,,之间的任一数为介于BAC7几何意义:至少有一个交点.闭区间上连续函数的性质8几何意义

3、:之间的任何值(不会有任何遗漏).推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值闭区间上连续函数的性质9例证由零点定理,闭区间上连续函数的性质10闭区间上连续函数的性质例证明:任何实系数奇数次代数方程必有实根.证设实系数奇数次代数方程为设且不妨设由于故故由零点定理,即方程有实根.因为在闭区间上连续,使得11例证由零点定理,使辅助函数闭区间上连续函数的性质12上连续,且恒为正,设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:闭区间上连续函数的性质练习13练习证则零点定理且闭区间上连续函数的性质14证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,

4、至少存在一点使即在区间内至少有闭区间上连续函数的性质练习15注意条件1.闭区间;2.连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．三、小结闭区间上连续函数的性质最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.四个定理闭区间上连续函数的性质16思考题(是非题)闭区间上连续函数的性质非例如:则至少存在一点171.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:18