高数同济§1.10闭区间上连续函数的性质.ppt

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1、一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值函数f(x)在区间I上有定义如果有x0I使得xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)最大值与最小值举例:函数f(x)=1+sinx在区间[02p]上，有最大值2和最小值0下页1函数y=sgnx在区间(-+)内，下页最大值与最小值举例:一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值函数f(x)在区间I上有定义如果有x0I使得xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I

2、上的最大值(最小值)2例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,并非任何函数都有最大值和最小值应注意的问题:3说明:定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值下页又至少有一点x2[ab]使f(x2)是f(x)在[ab]上的最小值至少有一点x1[ab]使f(x1)是f(x)在[ab]上的最大值定理说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续那么闭区间[a,b]上的连续函数f(x)也记作4应注意的问题:1.如果函数仅在开区间内连续2.或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区

3、间上就不一定有最大值或最小值下页定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值5定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证明设f(x)C[ab]由定理1M和m使x[ab]满足mf(x)M故f(x)在[ab]上有上界M和下界m因此函数f(x)在[ab]上有界首页定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值6二、零点定理与介值定理注:1.如果x0使f(x0)=0则x0称为函数f(x)的零点2.下页定理3(零点定

4、理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0几何解释7例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证明设f(x)=x3-4x2+1则f(x)C[01]并且f(0)=1>0f(1)=-2<0根据零点定理在(01)内至少x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x下页二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号

5、那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=08定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C下页二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0几何解释:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点9返回根据零点定理在开区间(ab)内至少有一点x使得定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间

6、[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C因此f(x)=Cj(x)=0即f(x)-C=0因为f(a)≠f(b)，设j(x)=f(x)-C则j(x)在闭区间[ab]上连续证明所以j(a)=f(a)-C与j(b)=f(b)-C异号10二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之

7、间的任何值定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C结束11★例2证由零点定理,12★例2.设f(x)在[a,b]上连续,且恒为正,证明:必使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证13思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数14