§1.10 闭区间上连续函数的性质

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1、§1.10闭区间上连续函数的性质介值定理(intermediatevaluetheorem)小结思考题作业最大值(maximum)和最小值(minimum)定理在闭区间上的连续函数有一些重要的性质,这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作为理论的根据.这些性质的几何意义很明显.第一章函数与极限1定义例设f(x)在区间I上有定义,使得当恒有若存在点为函数f(x)在区间I上的最小值,记为则称(大)一、最大值和最小值定理2在闭区间上连续的注(1)定理1中的条件“闭区间”和“连续性”定理1(最大值和最小值定理)函数一定有最大

2、值和最小值.是不可少的.3在开区间(0,1)内连续,在(0,1)内又如:在闭区间[0,2]上有函数f(x)在[0,2]上既没有最大值,如:函数没有最大值或最小值.也没有最小值.间断点函数4(2)“闭区间”和“连续性”在开区间取得最小值函数处取得最大值1.而不是必要条件.如函数内连续,但它在处取得最大值1;又如在闭区间上有间断点取得最小值但它在仅是定理的充分条件,5证由定理1(最值定理),定理2(有界性定理)有取则有6的零点.定理3(方程实根的存在定理)使得零点定理几何意义:如图所示.二、介值定理7定理4(介值定理)使

3、得证零点定理辅助函数,,之间的任一数为介于BAC8几何意义:至少有一个交点.9几何意义:之间的任何值(不会有任何遗漏).推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值10注闭区间上连续函数的性质常用于:证明某些等式或不等式;判断某些方程根的存在性或实根的范围.11例证由零点定理,12例证由零点定理,使辅助函数13证例证明:令介值定理使即得,0,,],[)(>ba上连续在设baxf.)()()(babax++=bfaff使得.)()()(babax++=bfaff14注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭

4、区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理15辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。16三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数

5、．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;171.练习题设f(x)C([a,b]),证明:至少存在一点[x1,xn],使得2.a