第六章数值分析模型§.插值法

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1、数学建模电子教案第13次课课题第六章数值分析模型§6.1插值法教学内容1、插值定义，常用的插值函数是多项式与样条函数：拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，三次样条插值。2、曲线拟合定义，常用的三种拟合准则：最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则。教学目标1、理解插值定义和曲线拟合定义2、掌握拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，3、了解三次样条插值掌握最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则的计算方法。教学重点插值法和曲线拟合教学难点三次样条插值双语教学内容、安排Numericalanalysismod

2、el数值分析模型Insertingvaluemethod插值法Splinefunction样条函数教学手段、措施以板演为主，多媒体与课堂讨论为辅作业、后记讨论体：P163:T1教学过程及教学设计备注§6.1插值法一、插值1、插值定义由实验或测量得到的某一函数在一系列点处的值，需要构造一个简单函数作为函数的近似表达式：，使得(6-1)这类问题称为插值问题。称为被插值函数，称为插值函数，称为插值节点；式(6-1)称为插值条件。2、常用的插值函数是多项式与样条函数。（1）拉格朗日(lagrange)插值取次多项式作为插值函数（6-2

3、）（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）数学建模电子教案第13次课利用插值条件有：（6-3）其系数行列式为阶范德蒙行列式，因插值节点互不相同，所以方程组的解存在且唯一。其系数行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式：由于插值节点互不相同，所以上述行列式不等于0，故由克莱姆(Cramer)法则知，方程组(6-3)的解存在而且是唯一的。实际上比较简单的方法不是解方程组(6-3),而是构造一组插值基函数.为此,首先求满足条件（6-4）的次多项式。因为式（6-4）表明，除点以外，其他所有的节点都是次多项式的零点，故设其中A为

4、待定常数。由可得所以（6-5）称之为拉格朗日插值基函数。利用插值基函数（6-5），可以构造多项式（6-6）就是满足插值条件，的拉格郎日插值问题的解，称式（6-6）为拉格朗日插值多项式。特别地，当时称为线性插值，其插值多项式为：数学建模电子教案第13次课满足从几何上看，为过两点的直线。当时，称为抛物线插值，其插值多项式为：满足。从几何上看为过点和的一条抛物线。插值的误差估计见书中138页。（2）埃尔米特插值许多插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式被称为

5、埃尔米特（Hermite）插值多项式设在节点上，要求插值多项式，满足条件（6-7）由于（6-7）式给出了个条件，因此可以唯一确定一个次数不超过次多项式，其形式为。根据（6-7）式来确定显然非常复杂。仿照拉格朗日插值多项式的基函数方法，可先求插值基函数及。共个，每一个基函数都是次多项式，且满足条件（6-8）于是满足条件（6-7）的插值多项式可写成（6-9）由条件（6-8）式显然有利用拉格朗日插值基函数，令数学建模电子教案第13次课其中为（6-5）式所表示的基函数。由条件（6-8）式可得整理得：解出对两边取对数求导可得于是同理仿照

6、拉格朗日插值余项的证明方法，若在内的阶导数存在，则其插值余项为其中，。（3）三次样条插值分段线性插值，具有良好的稳定性和收敛性，但光滑性较差。在数学上若函数（曲线）的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。易见，分段线性插值不光滑，这影响了它在某些工程技术实际问题中的应用。例如：在船体、飞机等外形曲线的设计中，不仅要求曲线连续而且还要求曲线的曲率连续，这就要求插值函数具有连续的二阶导数。为解决这一类问题，就产生了三次样条插值。所谓样条（Spline），本来是指一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程

7、中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的节点上，在其他地方任其自然弯曲，然后依样画下的光滑曲线，就称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连续点即节点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。从数学上加以概括，可得到样条函数的定义如下：三次样条函数记作，，满足：①在每个小区间是三次多项式。②在每个内节点上具有二次连续导数。数学建模电子教案第13次课③由三次样条函数中的条件①知，有个待定系数。由条件②知，在个内节点上具有二阶连续导数，即满足条件：（6-10）共有个条件。由条件③

8、，知，共有个条件。因此，要确定一个三次样条，还需要外加个条件，最常用的三次样条函数的边界条件有两类：第一类边界条件：第二类边界条件：特别地，，称为自然边界条件。第三类边界条件：称为周期边界条件。三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。样条插值