《线性代数》电子教程之五

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1、《线性代数》电子教案之五1主要内容第五讲矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换的概念；阶梯形矩阵的概念；矩阵等价的概念；三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.基本要求熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，知道矩阵等价的概念；知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.2一、概念的引入第一节矩阵的初等变换引例用消元法求解线性方程组1234解析：为了引入概念，在消元的过程中，把方程组看作一个整体，不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程

2、组.2131234321312341341123432223421234为消去做准备44332234212341234至此消元完毕，为了求出方程组的解，再只需用“回代”的方法即可：12342313125于是解得其中可任意取值.若令，则方程组的解为6说明求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代，这里方程组的同解变换是指下列三种变换：对调两个方程；以不为零的数乘某一个方程；把一个方程的倍数加到另一个方程上.从原方程组同

3、解变换到方程组的过程可见，除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.Go7由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换.同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩阵）.就本例来说，四个未知数划分为自由未知数和

4、非自由未知数8二、初等变换定义和记号1.定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行；说明把上述的定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.（2）以数乘某一行中的所有元素；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去.92.记号对调两行，记作对调两列，记作第行乘，记作第列乘，记作第行的倍加到第行上，记作第列的倍加到第列上，记作103.初等变换的逆变换变换的逆变换为变换的逆变换为变换的逆变换为11三、矩阵等价如果矩阵经有限次初等行变

5、换变成矩阵，那么称矩阵与行等价，记作；如果矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，那么称矩阵与列等价，记作；如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，那么称矩阵与等价，记作.1.定义2.矩阵之间的等价关系具有的性质反身性对称性传递性若，则若，，则12四、阶梯形矩阵首先用矩阵的初等行变换来解方程组(1)，并把其过程与消元法过程一一对照.Go2.行阶梯形矩阵其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，称为首非零元.行阶梯形矩阵:自上而下，

6、每个非零行的首非零元前面的零的个数依次增加；零行在最下方.说明133.行最简形矩阵其特点是:是阶梯形矩阵；非零行的第一个非零元（首非零元）为１；首非零元所在的列的其它元素都为０．结论对于任何矩阵　　，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.144.矩阵的标准形其特点是:左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.结论：对于矩阵，总可经过初等变换把它化为标准形15例1下列四个矩阵中，哪些是行最简形？解矩阵和是行最简形

7、矩阵.16例2设，把化成行最简形.解将元化为117将元化为1这已是阶梯形矩阵,再化为行最简形18特别注意把矩阵化为行最简形，不可以用初等列变换.把最后的行最简形记作，则有下面的结论：可以验证得即说明是的行最简形，即在下节将证明：对任何方阵的充要条件是可逆，并且当可逆时，19五、小结利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种十分重要的运算.由引例可知，要解线性方程组只需将增广矩阵化为行最简形.行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的比较行阶梯形矩阵行最简形矩阵自上而下，每个非零行的首非零元前

8、面的零的个数依次增加；零行在最下方.是阶梯形矩阵；非零行的第一个非零元（首非零元）为１；首非零元所在的列的其它元素都为０特点作用20一、初等矩阵第二节初等矩阵1.定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.2.三种初等矩阵1）对调两行或对调两列212）以数乘某行或某列说明是由经过对调第两行（或第两列），得到的初等矩阵.是以数乘第行(或第列)，得到的初等矩阵.说明223）将某行（列）的倍加到另一行（列）上说明是将的第行的倍加到第行（或是将的第列的倍加到第列），