《线性代数》电子教程之十三

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1、《线性代数》电子教案之十三1主要内容第十三讲方阵的对角化相似矩阵的概念和性质；方阵与对角阵相似的条件；对称阵的特征值与特征向量的性质，利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的方法.基本要求了解相似矩阵的概念和性质，了解方阵可相似对角化的充要条件.了解对称阵的特征值与特征向量的性质，掌握利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法.2一、相似矩阵的概念第三节相似矩阵1.概念的引入已知矩阵,求.我们可以找到一个可逆矩阵，——相似矩阵使32.相似矩阵的概念定义设都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使则称是的相似矩阵，或称矩阵与相似.对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.

2、4说明能对角化最突出的作用表现在的多项式的计算上.若存在可逆矩阵，使(为对角阵)则有这表明的多项式可通过同一多项式的数值计算而得到.当能对角化时，可以容易证明下面结论：设是的特征多项式，则.5二、相似矩阵的性质⑷定理3⑴若是的相似矩阵，则也是的相似矩阵.⑵若与相似，则它们的行列式相等：.⑶若与相似，则与也相似.若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值也相同.相似，⑸若阶矩阵与对角阵则即是的个特征值.证明证明6说明推论表明，若，则的对角元必定是的全部特征值.于是在不计较的对角元次序的意义下，由惟一确定.问题：⑴可逆矩阵是不是也由确定？⑵能不能用特征值和

3、特征向量来刻画矩阵能对角化的“特性”？定理3的逆命题不成立的.若矩阵和的特征值相同，它们可能相似，也可能不相似.例如7对阶矩阵，三、方阵可对角化的充要条件1.方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵，使这就称为把方阵对角化.说明如果能找到可逆矩阵，使，则可对角化；如果找不到这样可逆矩阵，则不可对角化.82.定理的引入设有可逆矩阵，使为对角阵.下面回答能否由确定.9这表明的第个列向量是的对应于特征值的特征向量，因而由和确定，也就是由确定.由于特征向量不是惟一的，所以矩阵也不是惟一确定的.10反过来，是依次与之对应的特征向量，则设矩阵的个特征值为，当可逆，即线性无关时，有这

4、表明方阵能否对角化完全可用的特征值和特征向量来刻画.113.方阵可对角化的充要条件定理4阶矩阵与对角阵相似(即能对角化)的充要条件是有个线性无关的特征向量.推论若阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似.说明当的特征方程有重根时，不一定有个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；但是，有重根时，也有可能能对角化.所以特征值互不相等只是与对角阵相似的充分条件.12例1设问为何值时，矩阵能对角化？解析：此例是定理4的应用.定理4表明：阶矩阵可对角化有个线性无关特征向量.由此可推得另一个充要条件：对的每个不同的特征值，的重数=对应于的线性无关特征向量的个数13所以的特

5、征值为1(二重)，.对应于单根，可求得线性无关的特征向量1个；对应于二重特征值1，若能对角化，则14要使，则即说明解答此题的关键是将取值条件“可对角化”转化为“二重特征值1应满足”，从而求得.矩阵能否对角化，取决于它的线性无关特征向量的个数，而与的秩，的行列式都无关.15例2设若能，找出一个相似变换矩阵将化为对角阵.试问能否对角化？解析：这是前面提到的一个例题.现在再讲，目的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法.先求的特征值，所以的特征值为再求特征向量，16当时，对应的特征向量满足解之，得基础解系所以对应于的线性无关的特征向量可取为解之，得基础解系当时，对应的特征向量

6、满足所以对应于的线性无关的特征向量可取为17由以上可知，有两个线性无关特征向量，令则就是所求相似变换矩阵，且有说明求相似变换矩阵的步骤：⑴求特征值；⑵求特征向量；⑶若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在(否则不存在)，由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求.所以可以对角化.18四、小结对于阶矩阵和，若有可逆矩阵，使则称与相似.阶矩阵与相似，则和的特征值相同，反之不然.阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量.19一、实对称阵的性质第四节实对称阵的对角化定理5实对称阵的特征值为实数.定理6设是对称阵的两个特征值，是若，则与正交.对

7、应的特征向量，证明证明证明定理7设为阶实对称阵，则必有正交阵，使其中是以的个特征值为对角元的对角阵.推论设为阶对称阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.20说明定理5表明，实对称阵的特征向量可取实向量.这是因为，当特征值为实数时，齐次方程的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系.定理6表明，实对称阵的特征向量可取为两两正交的向量.这是因为，对的每一个不同的特征值，对应于的特征向量可取为两两正交向量，到的线性无关的特征向量就是两两正交的.定理7表明，实对称阵一定可以对角化，而且是正交相似对角化.这样所得21二、实对称阵的对角化理论

8、依据：定理7和其推论实对