《线性代数》电子教程之二.ppt

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1、《线性代数》电子教案之二1主要内容第二讲行列式的计算行列式的三类基本运算；计算行列式的常用的基本方法；代数余子式的定义及其性质；克莱默法则.基本要求了解代数余子式的定义及其性质；知道克莱默法则.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的阶行列式；2复习阶行列式的定义式行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数称此行列式.3性质4推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行

2、列式符号的外面性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.4一、行列式的三类基本运算性质2介绍了第一类基本运算:交换两行（列）.交换第行和第行，记作；交换第列和第列，记作.性质3介绍了第二类基本运算：以数乘行列式的某一行（列）.以数乘行列式的第行记作；以数乘行列式的第列，记作性质6介绍了第三类基本运算：某一行（列）的倍加到另一行（列）.第行的倍加到第行，记作第列的倍加到第列，记作.5这里的符号也可用(1)(2)(3)6说明行列式的运算除了这三类之外，还有其他

3、种类，比如按照某一行（列）分拆.所用的记号仅仅是个符号，不能套用加法的运算律，和是不同的；同样地，和也是不同的.3.根据上述例（3）可以看出，运用第三类运算可将行列式化为上三角行列式.事实上，对任何阶行列式总能用第三类运算化为上三角行列式（或下三角行列式）.有时为了计算简单适当的运用第一类和第二类运算.7二、行列式的计算(1)1.方法1化为上三角行列式例1计算行列式解8说明先用了运算，其目的是把换成1，为了计算方便.2.第二步和第三步都是将两次运算的结果合在一起写，这是一种省略写法.这两次运算都是独立的，它们的运算顺序可以颠倒.9例2计算行列式解析：这个行列式的特点是对角线上的元素相等，其他

4、位置的元素也相等，这是一类重要的行列式，在后面的学习中会多次遇到这类行列式.方法2提出公因子10例3计算行列式解析：这个行列式的特点是第一列的系数相同，第二列的系数相同，的系数成等差数列，第三、四列类似.11例3计算行列式解析：这个行列式的特点是第一列的系数相同，第二列的系数相同，的系数成等差数列，第三、四列类似.12例3计算行列式解析：这个行列式的特点是第一列的系数相同，第二列的系数相同，的系数成等差数列，第三、四列类似.方法3加行加列法13说明在本例中，第一步和第二步都采用了省略写法，但是各个运算的次序不能颠倒，这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故.14例4计算行列式解析:此

5、行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.15例4计算行列式解析:此行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.16例4计算行列式解析:此行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.17例4计算行列式解析:此行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.18例5设证明证对的前行作运算，总可以将红线上方的元素化为零，而的后面的行都没有改变.19对的后列作运算，总可以将蓝线上方的元素化为零，而的前面的列都没有改变.因此20说明上述的证明过程虽有些抽象，但思路是简

6、单的.对于本例重要在于它的结果，以后常要用到此结果.在第二章中,用矩阵的语言来叙述，此结果是显然它是的推广.21例6计算阶行列式其中未写出的元素为.解析：此行列式的特点是，只有主对角线上和副对角线上的元素不为零，其余元素都为零.而且不为零的元素很有规律，如果去掉第一行和最后一行，第一列和最后一列，剩下的元素构成的行列式，在形式上是没有变化的.2223根据例5的结果这是递推公式方法4递推法24根据例5的结果这是递推公式方法4递推法25说明1.本例采用的方法是递推法.递推法是阶行列式计算中常用的、有效的方法.应用递推法的实质是数学归纳法，因此建立了递推公式之后，如，必须验证归纳基础，即初始条件下

7、命题成立.例如当或时命题成立.2.上述交换行列式的行（列）的方法,在解题时,经常用到，它的特点是在把最后一行换到某一行的同时，其余各行之间原有的先后次序没有改变（只是行的序号可能改变而已）.26例7计算行列式解按第一列分拆方法5分拆行列法27例7计算行列式解按第一列分拆方法5分拆行列法2829三、小结行列式的三类基本运算是行列式计算的基础；行列式的计算方法有很多种，要着重掌握下列五种:化为上三角（下三角）行列