《线性代数》电子教程之八

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1、《线性代数》电子教案之八1第八讲向量组的线性关系主要内容维向量、向量组的概念线性组合与线性表示；线性相关与线性无关；向量组线性相关性的重要结论.基本要求理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与线性方程组的联系；理解维向量的概念，理解向量组的概念及向量组与矩阵的对应；2理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系.知道两个向量组等价的概念；理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟悉这一概念与齐次线性方程组的联系.3一、维向量第一节向量组及其线性组合定

2、义个有次序的数所组成的数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第个数称为第个分量.说明向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向量，也就是行矩阵和列矩阵.规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算.4分量对应相同的列向量和行向量按定义是同一个向量，但是总看作是两个不同的向量.列向量常用小写黑体字母表示，或用希腊字母表示.行向量则用列向量的转置表示.如5“向量”几何术语，可以说，本章是介绍线性代数的几

3、何理论.把线性方程组的理论、矩阵理论“翻译”成几何语言.可以把有向线段作为维向量的几何形象，但是当时，维向量就不再有这种几何形象了.点的集合通常称为“空间”，引入坐标系后，点的坐标与向量之间有一一对应关系，因此,某些向量的集合称为向量空间，沿用几何术语，如——3维空间——3维向量空间6——3维空间中的一个平面——3维向量空间中的一个平面——维向量空间——维向量空间中的一个超平面7二、向量组1.定义若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组.例如一个矩阵的全体列向量就是一个含个维列向量的向量组；一个矩阵的全

4、体行向量就是一个含个维行向量的向量组；方程的全体解是一个维列向量组成的向量组.注意向量组可以是含有有限个向量，也可以是含有无限个向量.82.含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵.列向量组行向量组所以，含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.9三、向量组的线性组合定义给定向量组，对于任何一组实数，表达式称为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.说明向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式.线性组合的系数可以是任意实数

5、.10四、线性表示的概念定义给定向量组和向量，如果存在一组数，使得即是向量组的线性组合，则称向量能由向量组线性表示.定义设有两个向量组和，如果向量组中的每个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示.如果向量组与向量组能互相线性表示，则称这两个向量组等价.11说明向量能由向量组线性表示，就是存在，使也就是线性方程有解.向量组能由向量组线性表示，就是存在组数使得12记作其中矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.即向量组能由向量组线性表示，就是存在矩阵，使得也就是矩阵方程有解.这就是向量组由向量组线性表示的矩阵表示式.13

6、若，则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵：同样地，矩阵的行向量组能由矩阵的行向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵：14若矩阵与矩阵行等价，则的行向量组与的行向量组等价；若矩阵与矩阵列等价，则的列向量组与的列向量组等价.证矩阵与矩阵行等价存在可逆矩阵，使得的行向量组能由的行向量组线性表示；矩阵与矩阵行等价存在可逆矩阵，使得的行向量组能由的行向量组线性表示.15五、线性表示与方程的联系根据以上说明，线性表示与方程的联系为：向量能由向量组线性表示线性方程有解.向量组能由向量组线性表示矩阵方程有解.向量组

7、与向量组等价矩阵方程有解,而且矩阵方程也有解.16六、线性表示的判定定理1向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.定理2向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即推论向量组与向量组等价的充分必要条件是其中和分别时向量组和所构成的矩阵.根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得证明（上章定理5）（上章定理7）17例1设证明向量能由向量组线性表示，并求出表示式.解析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的求法.由定义知，向量能由向量组线性表示方

8、程有解，即有解，这表明由向量组线性表示的表示式与方程的解是一一对应的.例题讲解18记可见因此，向量能由向量组线性表示.例题讲解19由上述行最简形，可得方程的通解为因而，所求的表示式为例题讲解20证明向量组与向量组等价.例2设证例题讲解析：此题的目的是运用定理2的推论来证明两向量组等价.记2