平面弯曲梁的刚度与强度计算

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1、第8章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8.1纯弯曲时梁的正应力§8.2常用截面二次矩平行移轴公式§8.3弯曲正应力强度计算§8.4弯曲切应力简介§8.5梁的弯曲变形概述§8.6用叠加法求梁的变形小结8.1.1纯弯曲试验§8.1纯弯曲时梁的正应力一矩形等截面简支梁AB，其上作用两个对称的集中力F。☆加载前，在CD段表面画些平行于梁轴线的纵向线和垂直于梁轴线的横向线。☆加载后，由剪力图和弯距图可知AC、DB两段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为横弯曲（或称剪切弯曲）。☆在中间段CD段内的各横截面上，

2、只有弯矩，没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。§8.1纯弯曲时梁的正应力☆纵向线弯曲成圆弧线，其间距不变。凸边的纵向线伸长，凹边的纵向线缩短。☆横向线仍为直线，但相对转过一个微小角度，并与纵向线垂直。☆梁的高度不变，而梁的宽度在伸长区内，有所减少，在压缩区内，有所增大。§8.1纯弯曲时梁的正应力根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：☆平面假设：梁变形后，其横截面仍保持为平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着截面上某一轴转过一个角度。☆单向受力假设：梁是由无数条纵向纤维组成，各纤维之间互不挤压（即梁的纵向截

3、面上无正应力作用），处于单向拉伸或压缩状态。☆结论：由以上假设可知，因梁变形后的横截面仍与纵向线垂直，所以切应变为零，横截面上无切应力，而只有正应力。梁纯弯曲变形时，其内凹一侧的纤维层缩短；外凸一侧的纤维层伸长。二者交界处必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性层是梁内受拉区与受压区的分界面、是横截面上拉应力与压应力的分界线。中性轴上各点的正应力等于零，梁变形时各横截面均绕中性轴作相对转动。8.1纯弯曲时梁的正应力选取相距为dx的两相邻横截面m-m1和n

4、-n1。8.1.2梁横截面上的正应力分布设中性层O1O2曲率半径为，相对转动后形成的夹角为。距中性层处的线应变为（8.1）§8.1纯弯曲时梁的正应力8.1.2梁横截面上的正应力分布当正应力没有超过材料的屈服极限时，(8.2)§8.1纯弯曲时梁的正应力8.1.3梁的正应力计算取一微面积dA，作用于dA上的微内力为。由于纯弯曲时，横截面上的内力分量只有弯矩M而无轴力，故横截面上所有微内力在x轴上投影的代数和应等于零。称为截面对中性轴z的截面一次矩。因为故有所以令,称为横截面对中性轴z的弯曲截面系数，单位为

5、§8.1纯弯曲时梁的正应力（8.3）又称惯性矩。（8.4）（8.5）称为梁截面的抗弯刚度。整理可得纯弯曲梁的正应力计算公式：EIz。§8.2常用截面二次矩平行移轴公式8.2.1常用截面二次矩1．矩形截面设矩形截面的高为h，宽为b，过形心O作y轴和z轴。取宽为b高为的狭长条为微面积，（8.6a）（8.6b）（8.6c）（8.6d）§8.2常用截面二次矩平行移轴公式（8.7b）2.圆形截面与圆环形截面设圆形截面的直径为d，y轴和z轴过形心O。取微面积，其坐标为y和z。（8.7a）对圆环形截面（8.8a）（

6、8.8b）§8.2常用截面二次矩平行移轴公式8.2.2组合截面二次矩平行移轴公式组合截面对轴的截面二次矩等于各组成部分对轴的截面二次矩的代数和。(8.9)平行移轴公式(8.10)图形对任意轴的截面二次轴矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的截面二次轴矩，加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由此可知，对所有平行轴的截面二次矩中，以通过形心轴的截面二次矩为最小。此公式的应用条件为（1）两对轴必须互相平行。（2）其中x、y轴必须是过形心的轴。§8.2常用截面二次矩平行移轴公式8.2.2组合截面二次矩平行移

7、轴公式例8.1一Ｔ形截面，求其对中性轴的截面二次矩。解将形截面视为由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ组成。（1）确定形心和中性轴的位置。（2）求各组成部分对中性轴的截面二次矩（3）T形截面对中性轴的截面二次矩为：§8.3弯曲正应力强度计算对于脆性材料（8.12）梁的强度条件可解决三类强度计算问题：校核梁的强度、设计梁的截面尺寸和确定梁的许用载荷。梁的弯曲正应力强度条件为：（8.11）§8.3弯曲正应力强度计算例8.2简支矩形木梁AB。跨度，承受均布载荷q=3.6kN/m,木材顺纹许用应力。设梁横截面高度之比为，试选择梁

8、的截面尺寸。解画出梁的弯矩图可选取的矩形截面。8.3弯曲正应力强度计算例8.3悬臂梁AB，型号为No.18号工字钢。已知许用应力，,不计梁的自重，试计算自由端集中力F的最大许可值。解画出梁的弯矩图由强度条件得查手册得到No.18号工字钢弯曲截面系数P259③§8.3弯曲正应力强度计算例8.5已知T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，已知铸铁抗拉许用应力，抗压许用应力。试校核梁的强度。§8.3弯曲正应力强度计算解（1）由静力平衡方程求出支座反力为（2）画出梁的弯