研究生数值分析 第5章B

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1、§5.7样条插值函数高次插值函数的计算量大,有剧烈振荡,数值稳定性差；分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑(导数不连续)；Hermite插值需要知道每个分点的导数值。样条函数可以同时解决这三个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数。1.样条函数在[a,b]上取n+1个插值结点,已知函数在这n+1个点的函数值为,则在[a,b]上函数的m次样条插值函数满足:(1)在（a,b）上直到m-1阶导数连续;(2),;(3)在区间上,是m次多项式。2．三次样条函数在[a,b]上函数的三次样条插值函数满足:(1)在（a,b）上0、1、2阶导数连续;即,,.(2),;(3)在

2、区间上,是三次多项式。3.三次样条函数的计算由二阶导数连续,设,,是未知、待定的数。因是分段三次多项式,则是分段一次多项式,在每个区间内，记,则将上式在区间上积分两次,并且由,来确定两个积分常数。当时,利用一阶导数连续的性质,对上式求导,得:在上式中,令,得:将上式中的换成,得:在上的表达式,用代入，而,联立上述两式,得到关于的方程:,两边乘以,得:上式中，等式左边含未知量,,,等式右边,,是已知的,令,,，则得:,。这是含有n+1个未知量,共有n-1个方程组成的线性方程组。欲确定方程的解,尚缺2个方程。因此,求三次样条函数还要2个附加条件。常用的问题有下面两种提法:

3、第一类问题:附加条件为,。则方程组为:其系数矩阵为这是一个三对角矩阵,由于,因而它是严格对角占优的。原方程组是个三对角方程组,可以用追赶法求解。第二类问题:给出边界端点的一阶导数值:,。利用前面已推导的公式:当时,取,,得:;取,,得:。移项，得：于是,我们可以建立如下方程组:其系数矩阵是严格对角占优的三对角矩阵:从而可以解出。解出后可以得到三次样条函数的分段表达式,即当时,例:已知的函数值为,,x1245y1342求函数的三次样条插值。解:,,;,,,;,;建立方程组解得:,。从而得到函数的三次样条插值:当时,；当时，；当时，。所以§5.8曲线拟合的最小二乘法一.数

4、据拟合问题的数学提法通过观测、测量或试验得到某一函数在的函数值。我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点；在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用数据拟合的方法。所谓数据拟合是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,这儿不要求通过已知的这n个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,,数据拟合就是从整体上使误差,尽量的小一些。要求通

5、过已知的这n个点，而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数.这时,在每个已知点上就会有误差，,数据拟合就是从整体上使误差，尽量的小一些。j(x)y1j(x2)j(x3)j(xn-1)y2y3yn-1ynj(xn)x1x2x3……xn-1xn如果要求达到最小，因误差可正可负,本来很大的误差可能会正负抵消,这样的提法不合理.为防止正负抵消,可以要求达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导，分析起来不方便,求解也很难。为了既能防止正负抵消,又能便于我们分析、求解，提出如下问题：求一个低次多项式,使得（其中为权系数）达到最小，此问题便是一个数据拟合的最小二乘问题。设为所求的最小二

6、乘解，我们称为均方误差。为简单起见，下面我们取讨论。二、直线拟合1.问题的提法通过观测、测量或试验得到某一函数在的函数值，即得到n组数据,，如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条直线上，我们可以用直线拟合的方法。问题:已知数据,求一个一次多项式,使得达到最小。注意到中,均是已知的，而a,b是未知量,是未知量a,b的二元函数,利用求二元函数极小值(最小值)的方法，上述问题转化为求解下列方程组2.正则方程组的获得由得：得到如下的正则方程组这是个关于a,b的二元一次方程组，称其为最小二乘问题的正则方程组.解得a,b,便得到最小二乘问题的拟合函数。三、多项式拟合1.问题的

7、提法已知一组数据对,，求一个m次多项式:使得误差的平方和达到最小,即求待定参数使得达到最小。2.正则方程组的形成以m=2为例，，由多元函数的极值条件，可得：将未知量留在方程的左边，将已知量移到方程的右边，形成下面的正则方程组（法方程组）：这是一个三元一次方程组。如果利用三次多项式进行最小二乘拟合，则相应的法方程组为:这是一个四元一次方程组。四、指数拟合有些数据,在直角坐标系中的分布近似于指数曲线,则可以用指数函数进行拟合。指数函数,两边取对数,得:,作变换,得:,这是一个一次函数,和是待定系数。指数拟合的具体步骤:（1）我们可以将数据对转化为数据对;