研究生数值分析(19)

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1、一、正交多项式的概念与性质定义若区间（a，b）（有限或无限）上非负函数ρ(x)满足（1）对一切整数n≥0，§5正交多项式存在，（2）对区间(a，b)上非负连续函数f(x)，若则在(a,b)上f(x)≡0，那么就称ρ(x)为区间(a,b)上的权函数。常见的权函数有定义给定是(a,b)上的权函数，称为函数f(x)与g(x)在[a，b]上的内积。内积的一些性质:（由定积分的性质推出）①（f，g）=（g，f）；②(kf，g)=(g，kf)=k(f，g)，k为常数；③（f1+f2，g）=（f1,g)+(f2,g)；④若在[a,b]上f(x)≠0，则（f，f）>0定义若内积则称f(x)与g(x)在区

2、间[a,b]上带权ρ(x)正交。若函数系满足则称是[a，b]上带权ρ(x)的正交函数系。特别地，若是最高次项系数不为零的k次多项式，则称是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。可以证明：在[a，b]上带权ρ(x)的正交函数系一定是在[a，b]上线性无关的函数系。定理设是最高次项系数不为零的k次多项式，则多项式系为[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系的充分必要条件是对任何次数不高于k-1的多项式q(x)总有证明必要性任何次数不高于k-1的多项式q(x)（k≥1）总可表示为某一组0次，1次，…，k-1次多项式的线性组合，特别地，可表示为的线性组合因而有因j≠k，故上式右端每个积分皆等于零

3、，所以成立充分性因对任何次数不高于k-1的多项式q(x)所以，对于即又因是最高次项系数不为零的k次多项式，故因而有根据定义，是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。证毕。正交多项式的性质：性质1设是[a,b]上带权的正交多项式系，则也是[a,b]上带权的正交多项式系，其中，是非零常数。性质2区间[a,b]上带权ρ(x)的正交多项式系，在各个多项式的最高次系数为1的情形下是唯一的。证明设和都是区间[a,b]上带权ρ(x)的正交多项式系，并且对任何k≥0，和的项系数为1。当k=0时，所以根据定理可知因而因故有证毕是次数不高于k-1的多项式，当k≥1时，性质3设是[a,b]上带权ρ(x)的正

4、交多项式系，则当k≥1时，k次正交多项式（a，b）内。有k个互异实零点，并且全部位于开区间证当k≥1时，由于且恒为非零常数，所以因而可知在（a，b）内必变号，则根据定理，必有在（a，b）内必有奇重实零点。设在(a，b)内总共有m个奇重实零点,记为假定m

5、函数系产生在指定区间[a,b]上带指定权函数ρ(x)的正交多项式系其中是最高次项系数为1的k次多项式。正交化方法如下：二、几种常用的正交多项式1、Legendre（勒让德）多项式定义：由确定的称为Legendre多项式。Legendre（勒让德）多项式的性质：性质1Legendre多项式系是区间[-1，1]上的正交多项式系。性质2的最高次项系数为性质3n为奇数时，为奇函数，n为偶数时，为偶函数。性质4递推关系，当n≥1时，有证明见P122证明见P1232、Chebyshev（切比雪夫）多项式定义：设n为非负整数，称为Chebyshev（切比雪夫）多项式。Chebyshev（切比雪夫）多项

6、式的性质：性质1是x的n次多项式，并且当n≥1时，的最高次项系数为证明见P124性质2Chebyshev(切比雪夫)多项式系是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。性质3满足递推关系由递推关系可得证明见P124-125证明见P125性质4当n≥1时，在开区间(-1，1)内有n个互异实零点，它们是性质5当n为奇数时，是奇函数，当n为偶数时，是偶函数。证明见P1253、Laguerre（拉盖尔）多项式定义：称为Laguerre多项式。Laguerre（拉盖尔）多项式的性质：性质1是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为性质2Laguerre多项式系是区间的正交多项式系。[0，∞）上带权事实上

7、，有性质3满足递推关系4、Hermite（埃米特）多项式定义：称为Hermite多项式。Hermite（埃米特）多项式的性质：性质1是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为性质2Hermite多项式系是区间的正交多项式系。(-∞，∞)上带权事实上，有性质3满足递推关系