研究生数值分析(5)

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1、则近似方程转化为设，上式解为5牛顿(Newton)迭代法（1）牛顿迭代公式设xk是非线性方程f(x)=0的一个近似根，把f(x)在xk处作一阶泰勒展开，即用前两项近似代替于是方程f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿迭代公式牛顿迭代公式具有明显的几何意义。方程是曲线y=f(x)在点处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。求出（2）牛顿迭代法收敛的充分条件具有相同的根。因此，牛顿迭代法是一种以为迭代函数的迭代法。当时，方程与定理４对于方程，若存在区间，使1、在内存在方程的单根；2、在内连续。则牛

2、顿迭代法在附近具有局部收敛性。证明：由迭代函数得所以且由条件（2），必存在区间，使，在内连，且。根据定理2，牛顿迭代公式在附近局部收敛。因为是在内的单根，定理５对方程，若存在区间，使（3）对任意，都有；在上的唯一实根。（1）在上连续；（2）；（4）在上保号，则当初值，且时，牛顿迭代公式产生的迭代序列收敛于方程定理５的简要几何说明：条件（2）保证了方程y=f(x)在[a,b]内至少有一实根；条件（3）说明在[a,b]上恒有或即f(x)=单调，f(x)=0在[a,b]内最多有一实根。由条件(1)、(2)、(3)知，方程f(x)=0在[a,b

3、]内有唯一实根。条件（4）表明曲线y=f(x)在[a,b]内凹向不变。条件（1）保证了曲线y=f(x)的连续性和光滑性；不难看出，只要初始近似值满足条件及，则迭代过程必收敛。曲线y=f(x)在[a,b]上只有下图四种情形。的实根，要求准确到解：设，则容易验证在[0，3]上例4用牛顿迭代法求方程满足定理５的条件当时牛顿迭代公式收敛计算结果如下因为，所以为满足精度要求的近似根。例5给出用牛顿迭代法求平方根的迭代公式，并计算使其精确至7位有效数字。的牛顿迭代公式为解：作函数，则f(x)=0的正根就是现在分析迭代公式的收敛性，考虑区间（1），故

4、（2）当时，；（3）当时，，连续；满足定理５条件，牛顿迭代公式收敛。事实上，由迭代公式可得两式相除得到，令，于是对任意，总有，说明对任意初值，迭代公式都是收敛的。所以当时，解得由此递推可得利用迭代公式，取计算结果精确至7位有效数字，与精确值比较，可知牛顿迭代公式只需迭代3次就能达到精度要求。当迭代过程收敛，且连续时,有这表明当时,简单迭代法是线性收敛的。例6分析简单迭代法与牛顿迭代法的收敛速度。解：对于简单迭代法，由对于牛顿迭代法，（1）若是方程的单根（即　）则由容易验证，当所涉及到的各阶导数在附近连续时这表明牛顿迭代法用于求单根时至少

5、是二阶收敛的。（2）若是方程的重根，这表明直接用牛顿迭代法对方程求重根只有线性收敛速度。即此时有对是方程重根的情形，如将方程改写成则是方程的单根，再对用牛顿迭代法求就具有二阶收敛速度。对于一般的线性收敛序列,可通过下述方法加速：设序列收敛于且则当充分大时，解出，得这样又获得了一个由确定的新近似值。通过算式有可能产生一个收敛速度较快的新序列.这种加速方法称为埃特肯(Aitken)加速方法.只要ｋ充分大，这个新近似值就有可能比更好地逼近。根据这个原理，在收敛速度较慢的序列　　的基础上，的距离又较大时埃特肯加速可能失效。注意：当变化幅度大，将

6、埃特肯加速方法用于迭代法，可得如下算式称为埃特肯算法。例７用迭代法求方程在[0，1]内根的近似值，精确到解：取初始近似根用简单迭代法2.用牛顿迭代法3.用埃特肯算法（1）01230.50.7071070.6125470.65404145670.6354980.6437190.6400610.6414868910110.6409640.6412850.6411420.641205（2）01230.50.6389680.6411850.641186（3）01230.50.6421880.6411860.6411860.7071070.640

7、7410.6411860.6125470.6413840.641186分别求出满足精度要求的近似根，如下表6求方程m重根的Newton法设s是方程f(x)=0的m重根(m≥2),f(x)在s的某邻域内有m阶连续导数,这时由Taylor公式,得其中都在x与s之间。由Newton法的迭代函数可得由此可见，方程f(x)=0的m重根s仍然是其等价方程x=φ(x)的根。由于，所以，只要充分靠近s，由Newton法产生的序列仍收敛于s，但是只有线性的收敛速度。若把迭代函数修改为则有等式说明，当s是方程f(x)=0的m重根时,变形的Newton法不仅

8、可以收敛于s，且还具有二阶的收敛速度。在重根的情况下，一般重数m是不知道的。因此，使用变形的Newton法公式就有困难。为此，构造函数u(x)：当x=s时，u(x)=0；当时因s是f(x)的m重零点，故，s