控制系统时域稳定性

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1、自动控制原理主讲：谢红卫国防科技大学机电工程与自动化学院2008年4月~2008年7月第三章控制系统的时域稳定性（教材第6章）3-1稳定性的基本概念3-2Routh—Hurwitz稳定性判据3-3Routh—Hurwitz稳定性判据的应用第六讲：控制系统时域稳定性（3学时）3-1稳定性的基本概念3-2Routh—Hurwitz稳定性判据3-3Routh判据的应用3-1基本概念与结论右图是塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。一、基本概念4个月之后，一阵风吹过，引起桥的晃动，而且越来越大，直到…….同理，

2、不要在桥上齐步走！例3.1麦克风和扬声器麦克风扬声器空气媒介语音信号回音信号功放信号增大功率减小距离尖叫(a)K=5，k=0.11→101.5→152→20…(b)K=5,k=0.21→∞(c)K=10,k=0.11→∞KkR(s)Y(s)B(s)G(s)=K/（1-K*k）拾音器正反馈例3.1麦克风和扬声器系统稳定性(输入输出稳定性):对任何有界输入产生有界输出的系统成为稳定系统。这种性质保证了系统的绝对稳定性。对稳定系统而言，在稳定的前提下，还可以讨论系统的相对稳定性。民航客机就比战斗机更加稳定。[理解]绝对稳定不稳定临界稳定其中，系统

3、的非零极点为：和2.系统稳定的充要条件闭环传递函数的一般形式为：其中，是依赖于系统参数的常值系数。当和取正值时，对任何有界输入，y(t)都是有界的。此时，所有闭环极点都在s平面的左半平面。当N=0时,系统脉冲响应的一般表达式为：例如，如果虚轴根是二重根，对应的部分分式分解应该为：而对应的系统脉冲响应为无界输出：如果系统在右半平面至少有一个极点，(某个或取负值),或在虚轴上有重根，系统对任何输入的响应都会是无界的。此时，系统对特定的输入会出现无界输出，而对大部分有界输入产生的是有界响应。例如，存在简单虚轴极点时，系统对有界输入的响应是有界持续

4、振荡，但当输入为有界正弦信号且频率正好为虚根幅值时，输出却是无界的。用公式解释，留做练习！当系统在虚轴上只有简单极点(含N=1)，而其他极点都在左半平面内时，系统将是临界稳定的。闭环系统所有的极点为负值或有负的实部，或者说，闭环系统所有的极点都位于s平面的左半平面。归纳而言，LTIC系统绝对稳定的充要条件是注意：由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。3-2劳思稳定性判据[判据]（1）系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大于0（同号）；只要有1项等于或小于0，则为不稳定系统。（2）系

5、统稳定的充分条件：劳思表第一列元素均大于0（同号）。（3）系统不稳定的充分条件：劳思表第一列若出现小于0的元素，则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。设特征方程为则Routh表为例3.2则系统不稳定，且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。）一次方程:a1,a0同号，则系统稳定。二次方程:a1,a2,a0同号，则系统稳定。三次方程:a0,a1,a2,a3均大于0，且a1a2>a3a0，则系统稳定。情况一、首列均不为0；情况二、首列出现0，但该行不全为0；情况三、首列出现0，且该行全为0；情况四、虚轴上有重根。

6、其中，情况一是重点。劳斯表情况一例3.3、含参变量的例子：设系统特征方程为：s3+s2+s+K=0;K不等于１或０劳斯表111K0s0s1s2s3K1-K于是：Ｋ小于０，系统不稳定；Ｋ大于１，系统不稳定；Ｋ大于０且小于１时，系统稳定。参数取值影响稳定性！例3.4设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412劳斯表情况二劳斯表特点2每两行个数相等，否则补0。1右移一位降两阶3行列式

7、第一列不动4次对角线减主对角线5分母总是上一行第一个元素7第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。6一行可同乘或同除某正数ε2+8/ε7127-8ε-8-7ε/(2+8/ε）78再令正无穷小量ε趋近于0，得到真正的劳斯表如下。系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号，则系统不稳定!本例的系统不稳定。变号的次数为s右半平面上特征根的个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？s6s5s0s1s2s3s4146357+∞7127-80-87同号！劳斯表情况二例3.

8、5含参变量的例子：设系统特征方程为：s4+s3+s2+s+Ｋ=0令ε趋近于０，劳斯表首列出现Ｋ与负无穷大之积。Ｋ非零时，系统总是不稳定的。劳斯表1111kε0s0s1s2s3s4