含有未知函数的导数或微分的方程

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1、定义4.3含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶．一阶微分方程的一般形式为.4.5.1基本概念例如　　　　　　　，都是一阶微分方程．定义4.4如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解．4.5.1基本概念4.5.1基本概念例如，　　　　，　　　　都是微分方程　　　的解．其中,含有一个任意常数，它称为该微分方程的通解，而是　　　时，该微分方程的解，它称为该微分方程的特解．一般，如果一阶微分方程的解中含有一个任

2、意常数，则称此解为微分方程的通解，在通解中，如果可确定任意常数的值，所得到的解称为微分方程的特解．为了确定任意常数的值，通常需给出　　　时未知函数对应的值　　，记作　　　　或　　　　．这一条件称为初始条件．4.5.1基本概念如果一阶微分方程　　　　　　可以化为(4.5.1)的形式，则　　　　　　称为可分离变量的微分方程．微分方程(4.5.1)称为变量已分离的微分方程．在(4.5.1)式两边积分，得，(4.5.2)4.5.2可分离变量的一阶微分方程其中　是任意常数．(4.5.2)就是微分方程(4.5.1)的通解表达式．应注意，不定积分，　　　　分别表示　　

3、和的一个原函数，任意常数　要单独写出来．4.5.2可分离变量的一阶微分方程例1解微分方程　　　　　　．两边积分，得解原方程可改写为　　　　　　．分离变量，得．，4.5.2可分离变量的一阶微分方程记　　　　，则方程的通解为　　　　　．，即　　　　　　　　　　　．4.5.2可分离变量的一阶微分方程例2解微分方程　　　　　　　　　　　．解分离变量，原微分方程化为，两边积分，得，4.5.2可分离变量的一阶微分方程所以，即　　　　　　　　　　　　．得　　　　　　　　　．4.5.2可分离变量的一阶微分方程解原方程可化为　　　　　　　　．分离变量，得两边积分，得，，例

4、3求微分方程　　　　　　　　　满足初始条件　　　　的特解．4.5.2可分离变量的一阶微分方程或的形式．经过代数运算，它们都可以化(4.5.1)的形式．所以，　　　　是原方程的通解．由初始条件　　　，可得．故所求特解为　　　．可分离变量的微分方程往往具有4.5.2可分离变量的一阶微分方程例4设某厂生产某种商品的边际收入函数为　　　　　　　，其中　为该种产品的产出量．如果该产品可在市场上全部售出．求总收入函数　　　．解是变量已分离的微分方程．两边积分得．4.5.2可分离变量的一阶微分方程当　　　，应有　　　　．由此可得　　　．所以，总收入函数为．4.5.2可

5、分离变量的一阶微分方程例5设某水库的现有库存量为(单位：　　），水库已被严重污染．经计算，目前污染物总量已达　（单位：吨），且污染物均匀地分散在水中．如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度　（单位：/年）流入水库，并立即和水库的水相混合，水库的水也以同样的速度　流出．如果记当前的时刻为　　．4.5.2可分离变量的一阶微分方程(1)求在时刻　，水库中残留污染物的数量　　．(2)问需经多少年才能使用水库中污染物的数量降至原来的10%.解(1)根据题意，在时刻　　　，的变化率＝－(污染物的流出速度)．污染物流出速度=污水流出速度．4.5.2可分离变量的一阶微

6、分方程由此可得微分方程，即　　　　　　　　，　　　．．分离变量得，两边积分,得4.5.2可分离变量的一阶微分方程由题意，初始条件为　　　　，代入上式，得　　　，故微分方程的特解为．(2)当污染物降至原来10%时，有．代入上式得，4.5.2可分离变量的一阶微分方程例如，当水库的库存量　　　　　　，流入(出)速度为150(/年)时，可得(年)．解得(年)．4.5.2可分离变量的一阶微分方程4.5.3一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程．一阶线性微分方程的一般形式为．(4.5.3)如果　　　　，(4.5.3)式化为．(4.5

7、.4)4.5.3一阶线性微分方程(4.5.4)式称为一阶线性齐次微分方程．当时，(4.5.3)式称为一阶线性非齐次微分方程．所以方程(4.5.4)的通解为．(4.5.5)4.5.3一阶线性微分方程，两边积分，得1.一阶线性齐次微分方程的通解(4.5.4)分离变量后，化为，4.5.3一阶线性微分方程(4.5.3)的通解可以利用“常数变易法”得到：首先求得微分程(4.5.3)对应的一阶线性齐次方程　　　　　　　的通解(4.5.5)，然后将(4.5.5)式中的任意常数　换为待定的函数　　　　．即设方程(4.5.3)的通解为．(4.5.6)2.一阶线性非齐次方程

8、的通解4.5.3一阶线性微分方程将(4.5.6)式和(4.5.7)式代入(4.5