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1、导数的概念初等函数的导数高阶导数函数的微分导数与微分例1.瞬时速度问题求:质点在时刻的瞬时速度设有一质点作变速直线运动,其运动方程为导数的概念一.导数问题举例时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的,可以近似地用平均速度代替瞬时速度分析：于是当时,的极限即为越小,近似的程度越好称为曲线L上点P处的切线例2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQT设曲线L的方
2、程为y=f(x),越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQT曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.即:函数的增量与自变量增量之比,二.导数的定义相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。(1)并称这个极限为f(x)在点x0处的导数如果1.导数定义:设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义,在x0处取得增量Δx时,当自变量x存在,则称函数y=f(x)在x0处可导,特别的,若则称y=f(x)在x0处的导数为无穷大。若极限(1)不存在,记为:则称y=f(x)在x0
3、处不可导。若设x=x0+Δx,当Δx→0时,x→x0.可得导数的另一种定义形式2.左右导数定义设函数f(x)在点x0左侧(x0–δ,x0]若:][或存在,则称函数f(x)在点x0左(右)方可导,x0左(右)导数.记为:并称此极限值为函数f(x)在点][或都存在且相等和f(x)在点x0可导的充要条件是:[或右侧[x0,x0–δ)]有定义,3.f(x)在区间上可导的定义4.导函数定义[a,b]上可导。则称f(x)在若f(x)在（a,b)内可导,若f(x)在区间（a,b)内每一点都可导,称它为f(x)的导函数。若f(x)在区间Ι上可导,都有一个导数值与之对应,即在Ι上定义了一个新的函数,则
4、称f(x)在（a,b)内可导。和且都存在,记为：注:分三步骤:求增量;算比值;取极限。三.求导数举例例1.求f(x)=c(c为常数)的导数.解:例2.求函数f(x)=xn(n为正整数)一般地幂函数y=xu(u为常数)的导数为同理解：（以后给出证明）在x=a处的导数。如：例3：求函数y=sinx的导数解：例4：求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数则令解：四.曲线的切线与法线1.导数的几何意义在点处的导数在几何上表示曲线xyαM在点处的切线的斜率,即2.切线与法线方程如果函数在点处可导,则曲线在点的切线方程为如果为无穷大,切线方程为曲线在点的法线方程为特殊情况若则切线方程为法线方
5、程为若法线方程为则切线方程为例1.过点(3,0)作曲线求法线方程的法线,解:设切点为则法线斜率为法线方程为因(3,0)在法线上,又因切点在曲线上,由(1)(2)得:因为所以法线方程(1)所以(2)所以五.函数的可导性与连续的关系定理：函数y=f(x)在x0处可导，由极限与无穷小的关系定理所以f(x)在x0处连续注：反之不一定成立证:则f(x)在x0处必连续；反之不一定成立。例1.证明:f(x)=
6、x
7、在x=0处连续但不可导.证明:显然f(x)=
8、x
9、在x=0处连续.f(x)在x=0处不可导xyy=
10、x
11、在x=0处连续，但不可导。证明：显然f（x）在x=0处连续。切线存在为y轴称f（x
12、）在x=0处的导数为∞例2：证明:但不可导。xy0例3:试确定常数a,b之值,使函数在x=0处可导。解：f(x)在x=0处可导的必要条件是f(x)在x=0处连续即故当a+b+2=0时,f(x)在x=0处连续又因令故当b=a时,即存在解方程组得a=-1b=-1故当a=-1,b=-1时,f(x)在x=0处可导
