高阶导数和函数的微分

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1、基本求导公式导数的四则运算法则复合函数的求导法复习[f((x))]=f(u)(x)=f((x))(x)前面我们学习了函数的各种求导法。显然y=x2的导数是y=2x，而y=2x这个函数仍然可导，(2x)=2.定义2.2对于函数y=f(x)，若其导数y=f(x)可导，则称y=f(x)的导数[f(x)]为函数y=f(x)的二阶导数，记作：y或f(x)或或y(2)。即：y=(y)，f(x)=[f(x)]。同样地，若函数y=f(x)可导，且其导数y=f(x)仍然可导，即[f

2、(x)]存在，则称[f(x)]为函数y=f(x)的二阶导数。§2.4高阶导数类似地，若函数y=f(x)的二阶导数y仍可导，则称y的导数为y=f(x)的三阶导数，记作：y(3)，即y(3)=(y)。依此类推，若函数y=f(x)的n1阶导数y(n1)可导，则称y(n1)的导数为y=f(x)的n阶导数，记作：y(n)，即y(n)=[y(n1)]。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。例1设y=ln(22x)，求y解先求一阶导数y=[ln(22x)]再求二阶导数y=(y)例2设y(6)=

3、x2sinx，求y(8)解=2sinx+2xcosx+2xcosx+x2(sinx)=2sinx+4xcosxx2sinx例3求下列函数的n阶导数：（1）y=sinx;（2）y=xn.(1)解:一般地,类似可证:（2）y=(xn)=nxn1y=(nxn1)=n(n1)xn2y=[n(n1)xn2]=n(n1)(n2)xn3于是，可知y(n)=n(n1)(n2)1=n！练习：1.求下列函数的二阶导数（1）y=exlnx（2）y=x2e-2x（3）y=2.求y=e2x，(n

4、N)的n阶导数§2.5函数的微分一、微分概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其定义设函数y=f(x)在点x可导,自变量在点x的改变量为x，则乘积函数f(x)x称为函数y=f(x)在点x的微分，记为dy.即dy=f(x)x这时，也称函数y=f(x)在点x可微。对函数y=x，由于y=(x)=1，因而dy=dx=1x=x于是，函数y=f(x)的微分，一般记为dy=

5、f(x)dx即函数在点x的微分等于函数在点x的导数与自变量微分的乘积。改写为导数又称为微商。练习：函数y=f(x)可微的充分必要条件是函数y=f(x)可导。函数y=f(x)在点x0的微分记为dy

6、x=x0即dy

7、x=x0=f(x0)dx例1若y=f(x)=x2，求x=1,x=0.01时函数的改变量y与微分dy.解由上述条件，x=1,x=0.01，因此y=f(1+x)f(1)=(1+x)212=0.0201当x=1,x=0.01时，f(1)=(x2)

8、x=1=2x

9、x=1=2，于是dy=f(1)x

10、=20.01=0.02设y=x2+x，求在x=1,x=0.1，x=0.01时函数改变量y与微分dy.定理二、微分计算dy=f(x)dx例2求下列函数的微分：解（1）由于所以（2）由于所以（3）由于所以练习:求下列函数的微分：小结3.函数微分的求法1.求导法则及其应用2.高阶导数理解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法dy=f(x)dxdy

11、x=x0=f(x0)x作业P51A组12(1)P53A组2(3)(5)(6)3(书上)B组2