矩形中的折叠问题专项(自选)

矩形中的折叠问题专项(自选)

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时间:2019-08-17

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1、专题训练(一) 矩形中的折叠问题(本专题部分习题有难度,请根据实际情况选做)1.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为(  )A.12B.10C.8D.62.如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG=60°.现沿直线GE将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则图中与∠BEG相等的角的个数为(  )A.5个B.4个C.3个D.2个3.如图,将矩形ABCD沿直线EF对折,点D恰好与BC边上的点H重合,∠GFP=62

2、°,那么∠EHF的度数等于________.4.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5.如图,折叠矩形一边AD,点D落在BC边的点F处,BC=10cm,AB=8cm,求:(1)FC的长;(2)EF的长.6.如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF,且AB=10cm,AD=8cm,DE=6cm.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)

3、求BF的长;(3)求折痕AF长.7.将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.(1)当m=3时,求点B的坐标和点E的坐标;(自己重新画图)(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.8.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10.(1)求矩形ABCD的周长;(2)E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点

4、D落在BC边上点F处.①求DE的长;②点P是线段CB延长线上的点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,求PB的长.(3)M是AD上的动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和.参考答案1.B 2.A 3.56° 4.5.1 5.(1)由题意可得AF=AD=10cm,在Rt△ABF中,AB=8cm,AF=10cm,∴BF=6cm.∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).(2)由题意可得EF=DE,可设EF的长为x,则在Rt△EFC中,(8-

5、x)2+42=x2,解得x=5,即EF的长为5cm. 6.(1)证明:∵把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,∴AE=AB=10,AE2=102=100.又∵AD2+DE2=82+62=100,∴AD2+DE2=AE2.∴△ADE是直角三角形,且∠D=90°.又∵四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.(2)设BF=x,则EF=BF=x,EC=CD-DE=10-6=4(cm),FC=BC-BF=8-x,在Rt△EFC中,EC2+FC2=EF2,即42+(8-x)2=x2.解得x=5.故

6、BF=5cm.(3)在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2+BF2=AF2,∵AB=10cm,BF=5cm,∴AF==5(cm). 7.(1)如图,点B的坐标为(3,4).∵AB=BD=3,∴△ABD是等腰直角三角形.∴∠BAD=45°.∴∠DAE=∠BAD=45°.∴E在y轴上.AE=AB=BD=3,∴四边形ABDE是正方形,OE=1.∴点E的坐标为(0,1).(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下:∵四边形OABC为矩形,∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCO=90°.由折叠的性质可得:DE=BD=OA-

7、CD=4-1=3,AE=AB=OC=m.假设点E恰好落在x轴上,在Rt△CDE中,由勾股定理可得EC===2.则有OE=OC-CE=m-2.在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2.即42+(m-2)2=m2.解得m=3. 8.(1)周长为2×(10+8)=36.(2)①∵四边形ABCD是矩形,由折叠对称性得AF=AD=10,FE=DE.在Rt△ABF中,由勾股定理得BF=6,∴FC=4.在Rt△ECF中,42+(8-DE)2=EF2,解得DE=5.②分三种情形讨论:若AP=AF,∵AB⊥PF,∴PB=

8、BF=6;若PF=AF,则PB+6=10.解得PB=4;若AP=PF,在Rt△APB中,AP2=PB2+AB2,设PB=x,则(x+6)2-x2=82.解得x=.∴PB=.综合得PB=6或4或.(3)当点N与C重合时,CT取最大值是8,当点M与A重合时,CT取最小值为4,所以线段CT长度的最大值与最小值之和为12.

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