研究生数值分析(1)

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1、数值分析第1章绪论主讲老师:雷鸣§1数值分析的研究对象科学计算就是通过建立数学模型把科学技术问题转化为数学问题，然后对数学问题进行离散化，将其转化为数值问题，最后使用数值计算方法计算出数值问题的解，并把所得到的解作为原科学技术问题的解。1什么是科学计算数值分析是计算数学中最基本的内容，它研究如何用数值计算方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性、数值稳定性和误差估计等问题。§2误差知识与算法知识1误差的来源：引起误差的原因是多方面的（1）模型误差：从实际问题转化为数学问题，建立数学模型时，数学模型与实际问题之间出现的误

2、差称为模型误差。（2）观测误差：数学模型中一些根据观测得到的物理量，如：电压、温度、长度等，不可避免会带来误差，称为观测误差。（3）截断误差：（又称方法误差）计算机在实际计算时，必须在有限的时间内得到计算结果，就需要选用适当的数值计算方法求解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差。（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只能对有限位进行运算，因而往往进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差。误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对准确，是办不到的。因此，在计算方法里讨论的问题就是怎样尽量设法减少误差，提高精度。在四中误差中，模型误差和

3、观测误差是客观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍入误差。例如在计算机上计算级数取前三项计算的近似值产生了有限过程代替无限过程的误差，即截断误差或方法误差。截断误差是：比如：在尾数四位的浮点计算机上用0.3333表示产生的舍入误差用递推公式计算产生的误差少量舍入误差是微不足道的，但是在计算机上完成千百万次运算后，舍入误差的积累有时可能是十分惊人的。请现在推导此结果绝对误差、相对误差与有效数字是用来描述一个近似值的准确程度的。若为准确值x的一个近

4、似值，则称为近似值的绝对误差，用表示，即2绝对误差、相对误差与有效数字(1)绝对误差与绝对误差限：称为的绝对误差限。实际问题中，由于无法知道准确值x因而无法计算绝对误差的大小，只能根据具体情况估计绝对误差的上限使在工程技术中，将准确值x,近似值绝对误差限关系表示成例如表示近似值绝对误差限绝对误差有关系绝对误差的大小不能刻画近似值的准确程度。例如:近似值的绝对误差限是近似值的绝对误差限的二倍。因为在100内差2比10内差1更准确些，这说明一个近似值的准确度，不仅与绝对误差的大小有关，还与准确值本身的大小有关。若x的近似值的绝对误差为

5、则称比值为近似值的相对误差用表示,即当较小时(2)相对误差与相对误差限：是的平方级可忽略不计，在实际计算中x往往不知道，因此将作为近似值的相对误差。如果,使成立，则称正数为近似值的相对误差限。(常用百分数表示)例如的相对误差和相对误差限分别是和近似值比的准确度好得多。(3)有效数字：的半个单位，且该位数字直到左边第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字。例如，若则绝对误差限近似值具有三位有效数字。如果近似值的绝对误差限是其某位数上（4）有效数：称近似值末位也是有效数字的近似数为有效数。此时，绝对误差限不超过末位单位的一半。

6、有效数的有效数字位数等于左起第一位非零数字到末位数字的位数。例如有效数有2位有效数字，绝对误差限为有5位有效数字，绝对误差限为0.005，相对误差限为0.0000102。有3位有效数字，绝对误差限为0.00005，相对误差限为0.00102。练习：指出有效数的有效数字位数，绝对误差限和相对误差限。相对误差限为一般地，对于非零近似值的如下规格化形式如果则称近似值有位有效数字。3函数求值的误差估计（1）数值运算中误差的传播数值运算中，由于所给数据的误差，必然影响到计算结果的准确性，这种影响较复杂，一般采用泰勒级数展开的方法来估计。、设

7、分别是的近似值，在计算时，用作为函数的近似值，于是函数近似值的绝对误差即(1)函数近似值的相对误差利用（1）、（2）两式，可以得到两数和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播的估计式.（2）请现在推导这些结果4算法及其计算复杂性从误差传播规律和计算机字长的特点，在数值运算中必须注意以下几个原则。(1）使用数值稳定的计算公式在运算过程中舍入误差对结果影响不大的算法称为稳定的算法。研究算法的稳定，一种简便的方法是：假定初始值有误差,中间不产生新误差，考察由引起的误差积累是否增长，如不增长就认为是稳定的，如严重增长就认为不稳定。例如：建立

8、积分的递推关系式，研究它的误差传递。和可建立递推公式（1）解：由设计算时的舍入误差为，即因而实际计算的递推公式是：（(2）误差是怎么传递的？的近似值为,（1）-（2）得递推得到可以看出误差e0对第n步的影响扩大了倍。当n较大时，误差将淹没真值。用近