一道解课本例题的深度剖析

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1、高中数学校本课程课程名称：一道解析几何课木例题的探究与拓展课程作者：张明刚课程对象：高二学生课程课时：两课时课程背景：教材是数学知识和方法的载体，是高考题的直接来源,高考题所考察的知识点，几乎都能在教材上找到原型，很多题都是课本例题习题变更包装，恰当迁移，延伸与拓展，这就警示我们，要高度重视教材的典型例题习题，对其进行挖掘，再开发再拓展，发现其本质价值所在，本节课就是对解析几何2-1教材的零散的同类问题进行提炼，探究其本质属性，从而构建知识的网络体系，让学生体会到什么是源于课木而又高于课木。课程内容：XM、N是椭圆「a~Ka>b>0）上关于原点对称的两个点,P是椭圆上异于M、N的任意一点，求

2、直线PM、PN的斜率之积?题型2：若M、N是双曲线乂-「=1«>0,方>0）上关于原点对称的两ertr个点，P是双曲线上异于M、N的任意一点，求直线PM、PN的斜率之积？请同学先看课本上一道例题（人教选修2-1〈例3）例1：已知4ABC两个顶点A（-5,0）>B（5,0）,边AC、BC所在直线的斜率4之积等于-一，求顶点C的轨迹方程。922略解：易求得轨迹方程为二+轧=1（兀工±5）25100课本探究：（人教A版《数学》（选修2-1）第55页探究）例2：设点A、B的坐标分别为（-5,0）、（5,0）,直线AM、BM相交于点M,4且他们的斜率之积是丄，求点M的轨迹方程。922解：易求得轨迹方程

3、为十一金二1（兀工±5）我们发现这两道题结构形式相同，只是斜率之积差一个负号，就导致轨迹完全不同，那么这两道题能合二为一吗？再看一道课本习题（人教选修2-1Ao复习参考题10）例3：已知AABC两个顶点A（-5,0）、B（5,0）,边AC、BC所在直线的斜率之积等于m（加工0）,求顶点C的轨迹方程。略解：设点C(x,y),则kAC=〉(兀H-5),kBC=——(xH5),兀+5x-5依题意得kAC-knc=m,有=m(x±5),即兀+5x-5丄_“("±5)2525m（1）若-

4、在y轴上的椭圆，去掉（一5,0入（5,0）两点）；（3）若n）=-1时，动点C的轨迹是圆，去掉（一5,0）、（5,0）两点）；（4）若m>0,动点轨迹为双曲线去掉（—5,0）、（5,0）两点）;归纳提炼：比较以上三道题，我们发现“例题”中的点A、B即为求得的椭圆的长轴端点，斜率之积恰为所求椭b2圆的-塔。“变式”中的点A、B即为求得的双曲线的实轴端点，斜率之crb2积恰为所求双曲线的倉。cr而“作业”中，当-1V加V0,动点C的轨迹是以AB为长轴的椭圆，呼-作；CT当m>0时，动点C的轨迹是以AB为实轴的双曲线，m=—oa~这道题既考查了求曲线轨迹的方法，又给岀了生成椭圆和双曲线的另一种方法

5、结论拓展为一般形式：一个动点M到两定点A、B的连线的斜率之积为一个非零常数m,则动点轨迹(1)若m<0,且加H-I(呼-厶)则动点轨迹为椭圆(去掉AB两点);cr(2)若m=-l,动点轨迹为圆(去掉AB两点)；b2(3)若m>0(m=—),动点轨迹为双曲线(去掉AB两点)；cr拓展延伸：由以上习题，可知，当加v-1时，所求椭圆的长轴转移到了y轴上，由此可以猜想“椭圆上任意一点与其同轴上的顶点的连线斜率之积为定值”。解：对于长轴上的两个顶点，由上面的例习题可知猜想正确，下面证明顶点在短轴上的情况。22设P(x,y)为椭圆二+—=l(d>b>0)上异于短轴端点的任意一点,crb_a（0,-历、B

6、（o“）为短轴端点，贝ikPA-kPR=yzk.y±t=y~bXXJC22[j2又因为p点在椭圆上，所以二+£=i=>A纬3-戸），将其crtr对cr代入上式，可得kpA・kpB=-.（定值）cr同理可证，双曲线上任意一点与其同轴上的顶点连线的斜率之积为定值b2逆向探究：根据椭圆与双曲线的对称性，我们提出一个更加大胆的逆命题:22“若M、N是椭圆刍+与=l（a〉b>0）上关于原点对称的两个点，P是cr椭圆上异于M、N的任意一点，则直线PM、PN的斜率之积为定值”。证明：设M(w),贝I)N(-m-nn2-a2}a22.2,又设P(x0,y0),则七+备=1,即y02=-—(x02-^2)cr

7、trcrcoa.A1-nv+ny-n",宀止、所以kpM•kpN==二(定值)x-mx^mxcr同理可证：若M、N是双曲线亠-与=1（。>0">0）上关于原点对称的a~b~两个点，P是双曲线上异于M、N的任意一点，则直线PM、PN的斜率之积为定值。22结论：（1）M、N是椭圆二+—=1（G＞b＞0）上关于原点对称的两个点,a~b~P是椭圆上异于M、N的任意一点，求直线PM、PN的斜率之积为b2（2）若"、N是