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1、一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引川，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题冃：如图⑴，AD是AABC的高，点P,Q在I3C上，点R在AC上，点S在AB上，边BC=60cm,髙AD=40cm,四边形PQRS是正方形.(1)AAS/?与ABC相似吗？BPDQC(2)求正方形PQRS的边长.分析：由于四边形PQRS为正方形，所以SR〃BC
2、,故AASRsaabc.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解(1)AASRsAABC.理由：因为P0RS是正方形，所以SR〃BC.所以ZASR=ZABC,ZARS=ZACB.所以AASRsmbC・(2)由(1)可知ASR^ABC.根据“相似三角形对应高的比等于相似比,可得AESRADBC设正方形PQRS的边长为力cmAE二(40-/)cm,所以解得：力=2«所以正方形PQRS的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题
3、的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使Z产生一种一触即发的效果。变式1：如图(2),AABC的内接矩形EFGH的两邻边之比EF：FG=9：5,长边在BC上，高AD=16cm,BC=48cm,求短形EFGH的周长。分析：因为EFGH为炬形，则AN丄HG•这样AAHG的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG^AABC,即可以找到HG、FG与已知条件的关系，求出矩形EFGII的周长.解：因为EFGH为矩形，所以HG〃EF,HG=EF・所以△AHG^AABC.
4、十…HGAN所以~BC~~AD'^EF=9Z,FG=5Z・贝I」解得：Z=2.所以矩形EFGH的周长为56cm・变式2：如图(3),己知边长为10cm的等边三角形ABC,内接正方形IIEFG。求正方形HEFG的面积。分析：因为AD是等边三角形ABC的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD的长,FHAAEII-AABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。解：因为AD是等边三角形ABC的高，所以DC=-BC=5cm.因为AD=7AC2-DC2=7102-52=5V3cm.又因为HEFG为正方形,所以EH〃BC・所以AEHABC.设ND=EH=%cm,贝
5、ijZ=5馆一力10~5a/3Z=(20V3-30)cm2.所以正方形HEFG的面积为(2100-1200^)cm2.变式3：如图(4),AABC屮，高AD二4cm,PQMN为正方形，边QM在BC上，P、N分别在AB、AC上，且BC二AD+MN.求这个正方形的面积。分析：要求正方形的血积，需求出正方形的边PN的长，由厶APN-AABC及高AD=4cm,可联想用相似三角形对应高的比等于相似比去列比例式，即可以求出正方形的而积。解：因为PQMN为正方形，所以PN〃BC・抹所以△APN^AABC./口Z—4-力所以这个正方形的血积为z=（24-8a/5）cm2.变式4：如图（5）,AABC
6、是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,AD=80mm,要把它加丁成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个点分别在AB、AC图（5）上，设该矩形的长QM=ymm,宽MN=%mm.（1）求证：y二120-丄龙；2（2）当力与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最人？最人面积是多少？分析：因为四边形PQMN是矩形，所以PN〃BC.由厶ABC^AAPN得PN：BC=AE：AD,即可证y=120-jZ；又因为S矩^PQMN=Zy=（120-
7、Z）Z=-討+120才,血a二-一V0,所以力=时,S炉形PQMM有最大值.22a证明：（1）因为PN/7BC,AE丄PN,PN二QM二ymm,D
8、E二MN二力mm,所以即y:120二(80/-):80,AABC^AAPN,所以PN：BC=AE：AD,所以y=120--Z.23(3)因为S矩形PQMN二/y=(120--22力）力二一-Z2+120力，所以当120力二———二4°时，Smax2*(--)_12°〜二2400,“巧)这时y二兰也二60.40变式5：已知一块直角三角形木板的一条直角边AB的长为1.5m,面积为1.5m2,要把它加工成一个面积最大的止方形桌面，请你设计两种合理的加
