中南大学结构力学(下)12结构的极限荷载

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1、第十二章结构的极限荷载§12-1概述§12-2极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算§12-3单跨超静定梁的极限荷载§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理§12-5计算极限荷载的穷举法和试算法§12-6连续梁的极限荷载§12-7刚架的极限荷载§12-8矩阵位移法求刚架极限荷载的概念结构的弹性分析：假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。结构的塑性分析：基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载---极限荷载。极限荷载：结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临

2、界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记作Pu。§12-1概述计算假定：材料为理想弹塑性材料。弹性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件：§12-1概述§12-2极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算1.弹性阶段---应力应变关系---应变与曲率关系---应力与曲率关系---弯矩与曲率关系---弹性极限弯矩(屈服弯矩)线性关系2.弹塑性阶段中性轴附近处于弹性状态.处于弹性的部分称为弹性核.---弯矩与曲率关系非线性关系或3.塑性流动阶段---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)极限弯

3、矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。设截面上受压和受拉的面积分别为和，当截面上无轴力作用时中性轴亦为等分截面轴。由此可得极限弯矩的计算方法式中例：已知材料的屈服极限，求图示截面的极限弯矩。100mm20mm解:A1形心距下端0.045m,A2形心距上端0.01167m,A1与A2的形心距为0.0633m.塑性铰若截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作。意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。塑性铰与铰的差别：1.塑性铰可承受极限弯矩;2.塑性铰是单向的;3.卸载时消失;4.随荷载分布而出现于不同截面。破坏机构结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机

4、构。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。12-3单跨超静定梁的极限荷载超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。Pl/2l/2PA截面先出现塑性铰，这时再增加荷载令将P代入，得逐渐加载法（增量法）从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。RBPu逐渐加载法（增量法）Pl/2l/2P或列虚功方程极限平衡法例:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。因为是最大弯矩，l解:梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性分析，一个在A截面，设另一个在C截面。RB例:求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2Mu,BC段为Mu

5、。这种情况不会出现。解:确定塑性铰的位置：l/3Pl/3l/3若B、D出现塑性铰，则B、D两截面的弯矩为Mu，若A出现塑性铰，再加荷载时，B截面弯矩减少D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于D截面。列虚功方程由前面例题可见:若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即可求出极限荷载。同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等因素无关。12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现卸载的加载方式。求极限荷载相当于求P的极限值。结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：1.单向机构条件；2.内力局限条件；3.平衡条件。可

6、破坏荷载---同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。可接受荷载---同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。比例加载时关于极限荷载的定理：证明：取任一可破坏荷载，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程取任一可接受荷载，在与上面相同虚位移上列虚功方程1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。证明：取任一可破坏荷载，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程取任一可接受荷载，在与上面相同虚位移上列虚功方程2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：设同一结构有两个极限荷载和。若把看成可破坏荷载，看成可接受荷载。若把看成

7、可破坏荷载，看成可接受荷载。故有3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。证明：由于极限荷载是可接受荷载，由基本定理2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：设同一结构有两个极限荷载和。若把看成可破坏荷载，看成可接受荷载。若把看成可破坏荷载，看成可接受荷载。故有4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。证明：由于极限荷载是可破坏荷载，由基本定理列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机构对应的