二次函数在实际生活中的应用及建模应用

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1、二次函数的建模知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。(1)设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），根据题意，得：；又∵（自变量x的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办

2、法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x＜18，0＜x＜18）（2）∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即当时，故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米），根据题意，得：；又∵∵中，a=＜0，∴y有最

3、大值，即当时，故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解：（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm由题意得：解得：当时，20-x=4；当时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能。理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形

4、的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：，∵中，a=2＞0，∴y有最小值，即当时，=12.5＞12故两个正方形面积的和不可能是12cm2.4、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=a米．∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH．在△AEF与△DHE中，∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠D

5、EH，EF=EH∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，∴y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2，即y=2x2-2ax+a2；（2）∵y=2x2-2ax+a2=2（x-）2+，∴当x=时，S有最大值．故当点E是AB的中点时，面积最大．5、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？

6、（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t为何值时s最小，最小值时多少？答案：6、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x米,则花圃的长为（32-4x+3）=（35-4x）米,面积为S从而S=x(35-4x)-x=-4x²+34x∵0＜3

7、5-4x≤10∴6.25≤x＜8.75S=-4x²+34x,对称轴x=4.25,开口朝下∴当x≥6.25时S随x的增大而减小故当x=6.25时,35-4×6.25=10S取最大值56.25㎡.答：可设计成宽6.25米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．变式1：小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,花圃的宽宽究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?解：设花圃的宽为x米,则花圃的长为（32-2x）米,面积为S设矩形面积为y米²,得到：S=x