2020版高考数学一轮复习第十二章算法初步第5讲数学归纳法教案理（含解析）新人教A版

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1、第5讲　数学归纳法基础知识整合1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立，这一步是为归纳奠基．(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，

2、二凑结论”．1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，左端计算所得的结果是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案　C解析　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C.2．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明(　　)A．n＝k＋1时命题成立B．n＝k＋2时命题成立C．n＝2k＋2时命题成立D．n＝2(k＋2)时命题成立答案　B解析　因n是正偶数，故只需证命题对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋2，故选B.3．在应用数学归纳法证明凸n边形

3、的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．0答案　C解析　凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3答案　B解析　计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．答案　2k＋1解析　n为正奇

4、数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．6．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．答案　3k＋2解析　n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.核心考向突破考向一　数学归纳法证明恒等式例1　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝

5、＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．触类旁通利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．即时训练　1.求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边．(2)假设n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时

6、，1－＋－＋…＋－＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知对一切n∈N*，等式成立．考向二　数学归纳法证明不等式例2　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即＋＋…＋>.当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋>＋＝.∴当n＝k＋1时不等式也成立．∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．触类旁通用数学归纳法证明不等式的两种形式用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行

7、证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，第二种形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，然后猜出从某个n值开始都成立的结论．即时训练　2.用数学归纳法证明：＋＋…＋<(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，显然不等式成立．当n＝2时，左边＝＋＝，右边＝.由＋1<2，得<，即n＝2时，不等式也成立．(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即＋＋…＋<.当n＝k＋1时，两边同加，得＋＋…＋<＋，只需证＋<即可．而－>⇔>⇔>＋⇔(－1)>，∴对k≥2成立，即当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，不等式对n∈N*都成立．考向三　归纳—猜想—证明例3　(20

8、19·杭州模拟)设数列{