流体力学第5章平面势流理论

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1、第5章平面势流理论在不可压缩理想流体中，当流动无旋时，称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流中不仅存在速度势，同时存在流函数。它们均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初始条件下具有实际背景的许多问题的解答。工程流体力学1由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变函数这门数学工具求解平面势流。在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利用伯努利

2、方程求得压强场，从而沿物体表面积分便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学的重要部分。工程流体力学25.1平面势流的复势5.1.1复势的定义在平面势流中，同时存在着速度势和流函数，流速场在直角坐标系中有关系式工程流体力学3解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面势流。这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组成一个解析复变函数式中工程流体力学45.1.2几种简单的平面势流复势1.均匀直线流动（均流）当流动速度为

3、，方向同x轴方向一致时，复势若均流的，，如图5.1所示，则复势图5.1不同方向的均流yxaOU0工程流体力学52.源和汇当将源或汇置于极坐标的原点时，复势若源或汇置于复平面处，则其复势工程流体力学63.环流（1）点涡。点涡也称平面圆旋，是一团无限长的直圆筒形流体，流体质点均绕本身的中心旋转，旋转的角速度，大小是，方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径是，且是一个小量，因此也称它为点涡。点涡的强度式中——涡束的半径；——内部流体质点旋转角速度大小；——速度环量。工程流体力学7（2）环流。由于圆旋的存在，则周围流体将

4、引起一个诱导速度场，也称为环流，该诱导速度场是平面势流。若点涡的强度是，将它置于原点，点涡的旋转方向是逆时针，则，若是顺时针，则。其复势点涡置于复平面处，则其复势工程流体力学84.偶极子当等强度的源、汇（源至汇的方向为x方向）无限靠近，并置于原点时，复势工程流体力学9若偶极子中源到汇的方向与轴成角，则复势若偶极子放置在处，且偶极子中源到汇的方向同轴，则复势工程流体力学105.2复速度5.2.1复速度和共轭复速度平面势流的流动复势已知时，便可以对复势求导，若复势对进行微分，得复势导数的实部是轴向的速度分量，导

5、数的虚部是y轴向的速度分量的负值，如图5.2所示。yxOqqvu+ivu-iv图5.2复速度工程流体力学11通常称为复速度，称为共轭复速度。显然复速度的模是速度的大小复速度有可能写为一旦得到复势，就可以得到流场的速度场工程流体力学12图5.3速度环量yxzldlvO5.2.2复速度的积分1.速度环量在流场中，取一封闭的空间曲线l，在l上取微分线段dl，如图5.3所示，该处流体速度为，则定义为沿曲线l的速度环量，以表示（简称环量）。工程流体力学13流动是势流，那么存在速度势2.复速度积分在平面流场中取一封闭曲

6、线l，复速度对闭合回路l的积分为物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分，其实部等于沿该曲线的速度环量，虚部等于由内向外通过该封闭曲线的体积流量。工程流体力学14【例5.1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是，在原点处压强为，试求：（1）上半平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3）沿x轴的压强分布。【解】（1）复速度则流场的速度分布工程流体力学15（2）由复势得流函数流线方程常量，上半平面的流线图如图5.4所示。（3）由于流动是无旋的，按拉格朗日方程求压强分布式中；——原点到该点的距离。yxO图5.4

7、的流线图2Waz=工程流体力学16当处，，，，此时即为平面中各点压强分布。【例5.2】已知某一平面势流，其流动复势为，（1）试分解这种流动为最简单的流动；（2）求沿圆周的环量和通过这一围线的流量。【解】平面势流具有叠加原理，将两个或更多的简单平面势流叠加成复杂的平面势流，复杂流动的复势只须将原先简单流动的复势简单地代数相加即可。工程流体力学17（1）解析下式：对于，是源强度放置于（0,0）点的复势；对于，是汇强度放置于（3,0）点的复势。（2）沿圆周的环量和通过该围线的流量为工程流体力学18按留数定理故由于

8、在区域内无点涡存在，故环流的强度为零。由于在内有强度为的源存在，故体积流量为。工程流体力学19【例5.3】某一平面势流，其流动复势为一般的对数函数（A，B为实常数）；试分解这种流动为最简单的流动和绘制流动图形。【解】有以下解析式：对于是强度为的源（汇）放置于（0,0）点的复势；对于，则是强度为的点涡放置于（0,0）点的复势。（当时，点涡为顺时针方向旋转，反之则为逆时针方向旋转）工程流体力学20流动图形的分析：故速