2010 平面势流 流体力学

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1、第六章平面势流理论本章内容：研究不可压理想流体无旋运动流场的速度分布、压力分布及作用于物体上的力。Background：Aviation,ship&oceaneng.waterwaves.15:58势流问题的求解方法内容（理想流体的势流）：1、目的是求出流体作用在物体上的力和力矩2、为求力和力矩，必须知道物体表面上的压力分布3、势流为无旋，由拉格朗日积分（伯努利积分）求压力必先求速度4、无旋有势，故为求速度必先求速度势5、速度势满足拉普拉斯方程（根据所给边界条件和初始条件求速度势）定解问题：∇2ϕ=0n（influid）V0∂ϕ=vb⋅n（onS

2、）S∂n∇ϕ→0F(x,y,z,t)=0(R→∞)ϕv=∇ϕpF15:58无粘流欧拉运动方程概念无旋流速度势函数平面不可压缩流函数拉普拉斯方程基本解速度场平面势流解法复势理论伯努利方程压强场绕圆柱流动理论绕机翼流动应用机翼升力、诱导阻力实际水波理论15:58叶珊理论15:58理想不可压流体恒定平面有势流动同时存在速度势函数ϕ和流函数ψ，这是一对共轭调和函数。给流场的求解带来更大的简便。常分离变量法奇点分布法用保角变换法的数值解法解几何（流网）法法实验（如水电比拟等）方法15:58绘制流网是求解理想不可压流体定常平面有势流动的一种近似的几何方法，流

3、网是由等速度势函数线族和等流函数线（流线）族构成的正交网格。一般取速度势函数和流函数的增量相等，流网呈正方形。根据流网可以图解流速，再由欧拉积分推算压力。dϕ=udsyψ+dψdsdψ=udnudnψdϕ=dψds=dnφ+dφφox15:58流网方法绘制流网要点:固壁为等流函数线(流线)；流线间隔按流量相同划分，断面流速均匀，则流线间距相等；自由面也是一条流线，但其位置、形状未知，需利用压强条件逐渐确定。φAupABϕA<ϕB流网密处，流速大、压强小。流网疏处，流速小、压强大。已知一点处ψA>ψB流速、压强，可知各点流速和压强。

4、15:58流网方法流网的绘制（1）首先要确定边界条件，一般有固体边界、自由表面、人流断面和出流断面的边界条件等。（2）固体边界是一流线，称边界流线，等势线与它垂直。（3）自由表面是一边界流线，等势线与它垂直。(4)入流断面和出流断面的部分流动条件应该是已知的，根据已知条件可以确定这些断面上的等势线和流线的位置。入流断面和出流断面与平行平面的交线是等势线，称边界等势线。在绘制流网时，一般的步骤可以如下（1）先用铅笔在图纸上按一定的比例绘出流动边界，根据边界条件定出边界流线和边界等势线。（2）先绘流线，再绘等势线。边界等势线的流线的间距应相等。15:

5、58流网方法有压平面势流流网的绘制ψ=+aq53qψ=+a442qψ=+a34A△mqaψ=+a2B4△mbψ=a1qϕ=bϕ=+b124qqqqu==3Au==mm4Bmm1215:58挑战作业：有一圆筒闸门如图所示，闸门直径D=2m，上游水深H=2m，下游水深h=0.6m，上有来水流速为均匀分布，v=2.2m/s，试绘制平面流网图，及0AB曲面上的压强分布。AvHB0h解析解：简单边界问题。奇点叠加法；保角变换法（平面）。数值解：复杂边界问题。CFD—ComputationalFluidDynamics(eg.:BEM,FEM,F

6、DM)15:58复势（complexpotential）—平面势流借助复变函数数学工具解平面势流问题。iθ复数z=x+iy=re复势W=f(z)=f(x+iy)=ϕ(x,y)+iψ(x,y)解析函数平面势流z=x+iy复变函数解析的充分必要条件：1、φ(x,y)和ψ(x,y)连续且又连续的偏导数2、φ(x,y)和ψ(x,y)满足柯西—黎曼条件dW∂∂∂∂φψψφ−iθ复速度=+i=−=−=iuvUiedz∂∂∂∂xxyy微分关系：复速度与流体速度dW22=+=uvU15:58复速度的模dzd()Wz速度场u=RedzdW共轭复

7、速度=+uvid()Wzdzv=−Imdz速度环量Γ=∫vl⋅dll=∫∫uxvywzdddd++=ϕll复速度积分dW(z)∫lzdz=∫∫ldW(z)=+=+l(dϕψid)∫∫lldϕidψd=Γ+iQll积分关系：复速度与速度环量和流量2ρ2ρdW点压力p+v=C⇒p=C−15:5822dz【例1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是W=az2(a>0)，在原点处压强为p0，试求：（1）上半平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3）沿x轴的压强分布。【解】（1）复速度dW==+=+2az2(axi

8、)y2axi2aydzu=2ax则流场的速度分布v=−2ay（2）由复势2222W==+=−+azax(i)yax(y)i2axy