刚体力学-8-刚体动力学举例

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1、一、基本概念二、刚体运动学三、作用于刚体上力系的简化空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩共面非平行力系的简化：力的可传性原理+平行四边形法则四、刚体静力学第二章刚体力学讲授内容五、刚体动力学：基本动力学方程、转动惯量、及其应用于不同运动形式的刚体（一）刚体运动的基本方程(二)转动刚体的角动量（三）刚体的转动动能（四）刚体转动惯量五、刚体动力学讲授内容（五）对固定点的角动量定理(六)动能定理（七）刚体的平动、定轴转动及平面平行运动的动力学微分方程(八)刚体绕固定点的运动1．质心运动定理—动量定理2．角

2、动量定理(一)刚体运动的基本方程五、刚体动力学----（一）刚体运动的基本方程(二)转动刚体的角动量(三）刚体的转动动能质量连续分布五、刚体动力学—转动惯量(四）刚体转动惯量1、定义和转动惯量的计算定理2、通过一点o的任一条轴线的转动惯量五、刚体动力学—转动惯量通常此式称作会聚定理。3、惯量椭球表示一个中心在O点的椭球曲面，称做惯量椭球。惯量椭球方程五、刚体动力学—转动惯量如：O点在质心C处→中心惯量椭球一般坐标系下的惯量椭球主轴坐标系下的惯量椭球定义：使惯量张量对角化的坐标系三根互相垂直的坐标轴为惯量主

3、轴。4、惯量主轴每一个惯量椭球都有三条相互垂直的主轴。椭球三主轴称为惯量主轴对主轴的惯量称为主转动惯量。主轴坐标系下的惯量椭球五、刚体动力学—转动惯量关于惯量主轴的讨论①惯量主轴垂直于惯量椭球面；五、刚体动力学—转动惯量②如以惯量主轴为坐标轴，则椭球面方程就简化为：③x轴为主轴的充要条件是含有的惯量积为零。④如果刚体有对称性，则可由以下条件决定其主轴：a.如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量椭球的主轴；b.如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量主轴之一将垂直于该平面；c.通过中心惯量主轴上的各

4、点与惯量主轴平行的轴为该点的惯量主轴。（五）对固定点的角动量定理说明：a当取主轴坐标系时，惯量张量对角化，则：五、刚体动力学—对固定点的角动量定理b．一般来说不共线，当且仅当沿主轴的情况下二者才共线证明：充分性:设沿x主轴，则：必要性：设共线，选主轴坐标系要求:分以下几种情况：时，要求：则就必须有两个分量为零，设，则：此时椭球面是一旋转椭球面若平面内，因椭球面是旋转椭球面，故任何轴都是主轴。若此时椭球面退化为一球面，任何方向均为主轴方向。例：一均质长方形薄板，沿一竖直边以ω作定轴转动，边长分别为a，b，求

5、①②求AB边的中点角动量③解：①如图建立坐标系，则x轴为主轴，y，z不是主轴，且，故过E点重新建立坐标系，则：x，y，z均为主轴②求③求Cc.通过中心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为该点的惯量主轴。(六)动能定理对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能定理可表为：①刚体动能的一般表示—柯尼希定理②定点转动时，刚体动能在体坐标系中的表示五、刚体动力学—动能定理③动能在主轴坐标系中的表示形式④定点转动就是绕通过固定点的某一瞬轴的转动证：设　与三个坐标轴夹角的余弦值分别为若刚体受力为保守力，机械能守恒定

6、律也可作为辅助方程注：以上三个定理给出7个标量方程来描述刚体的运动，但我们知道刚体的独立变量最多只有6个，故只要选取7个中的6个或更少的方程就可以完整的描述刚体的运动。质心运动定理质心的运动规律与固定点的一样对质心的角动量定理研究刚体动力学思路：将作用在刚体上的力简化为过质心的力及对质心的力矩。6个方程正好确定刚体的6个独立变量动能定理可作为辅助方程：若刚体受力为保守力，机械能守恒定律也可作为辅助方程1、刚体的平动定义：刚体中任一直线在运动过程中始终保持平行的运动。性质:需要3个独立变量，当需要求某些外力

7、时，由于没有转动，故：（七）刚体的平动、定轴转动及平面平行运动的动力学微分方程平动时刚体内所有点都有相同的速度和加速度.2.刚体的定轴转动刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上做圆周运动。用角位移就可以确定定轴转动刚体位置，定轴转动的独立变量只有一个定义：与刚体相关联的空间两点始终保持不动的运动。（1）定轴转动运动学（2）定轴转动动力学方程转动方程辅助方程：定轴转动的动能定理刚体的动能定理可表示为：对定轴转动的情况，假设　　　，则：机械能守恒（3）定轴转动轴上的附加力刚体作定轴转动，可看作是AB

8、两点不动的约束运动，去掉约束代之以约束反力，就可用动量定理和角动量定理求运动和约束反力。刚体的定轴转动如图建立坐标系，并且体坐标系的x轴通过质心，转轴z上有两点A，B，且两点所受的约束力为,刚体定轴转动，则：由定点运动的角动量定理在定轴转动下于空间坐标的分量表示：对定轴运动来说，，故：表主动力矩，则：自由转动的轴线静反力：时轴对刚体的作用力称为静反力动反力：或在相同的主动力作用下，动反力等于静反力的条件为:质心在转轴上，且转轴