刚体动力学（rigidbodydynamics）

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1、刚体动力学（RigidBodyDynamics）任程本文的内容由作者翻译整理了BrianVincentMirtich博士毕业论文“Impulse-baseddynamicsimulationofrigidbodysystems,1996”的附录而来。本文并不系统讲解刚体动力学，却旨在提纲挈领的讲解在学习刚体动力学（RigidBodyDynamics）的过程中的几个十分关键的问题。其中第1节介绍向量、矩阵在不同坐标系间的转换及其作用，第2节介绍用矩阵表示的向量叉积并利用其表述矩阵的求导运算，第3节利用1、2节的内容进一

2、步导出实用的动力学公式，说明了为何物理书中的刚体动力学公式形式有τ()ttI()和τ()ttttIα()()I()两种情形，而在实际情况（如机器人领域、计算机图形与动画领域）中使用的经常为τ()ttttIα()()I()。阅读本文前您需要已经具备最基本的向量、矩阵的知识，并已经知道基本的牛顿力学定律Fam。1.向量、矩阵、坐标系本文中，一个坐标系指右手方向的三维坐标系，其三个基准轴向量i,,jk相互正交，满足ijk。我们经常要将某向量在一个坐标系下的坐标转换到另一个坐标系下。例如对于一

3、个向量v，设31列向量v表示其在坐标系F（坐标系常以大写斜体字母表f示）下的坐标，31列向量v表示其在坐标系G下的坐标。如果我们以三个31g列向量rrr,,分别表示坐标系F的基准轴ijk,,在坐标系G下的坐标。则有坐标转xyz换公式：vrrrvRvgxyzff其中33的矩阵R为一个旋转矩阵，它将向量v在坐标系F下的坐标转换为其在坐标系G下的坐标，此后本文中将称R为“由坐标系F到坐标系G的旋转矩阵”。一个旋转矩阵的各个列向量为单位向量（即长度为1），且相互正交。此矩阵的各个行向量同样亦是如此。矩阵R

4、的行列式（determinant）为1，且R的一个重要且十分常用的特征为1TRR(1.1)1式(1.1)在被广泛应用于快速计算R。除向量外，矩阵也经常要被变换到不同坐标系中以能够作用于不同坐标系下的向量坐标。例如，设向量和向量L分别表示一个刚体“在相对于附着在其自身的局部坐标系下”的角速度（angularvelocity）和角动量（angularmomentum），则和L的关系为LI其中I为一个33的质量矩阵（massmatrix）。对于如何得到公式LI，及惯量I的表示请参看相关力学书籍，或者参看

5、OnlineSiggraph2001CourseNotes:“Physicallybasedmodeling”中RigidBodyDynamics一节：http://www.pixar.com/companyinfo/research/pbm2001/现假设角速度和角动量被表示在另一个坐标系下，例如表示在空间中始终固定的全局坐标系下。设和L分别为角速度和角动量在全局坐标系下的坐标，则此oo时这两个向量通过一个矩阵I相联系，即LIoooo则一个重要的关系式为：TIRIR(1.2)o其中R是由刚体局部坐标系到全局

6、坐标系的旋转矩阵。I如同I一样代表着相同的映射关系，由I和得到的角动量L与由I和得oooo到的角动量L相似，只是表示在不同的坐标系下：LIoooT()RIR()RRIRL2.用矩阵表示向量叉积（crossproducts）3在一个向量空间，两个向量进行叉积()可以得到另外一个向量：ababyzzyababab(2.1)zxxzababxyyx式(2.1)可以用另一种方式表示：abab其中a是一个33的斜对称矩阵：0aazyaaa0zx

7、aa0yx斜对称矩阵指矩阵具有性质：Taa在动力学的公式表述中以矩阵的方式来表示向量叉积经常很有用。设a表示在坐标系F下“被向量a施加叉积”的运算，a表示在坐标系G下FG“被向量a施加叉积”的运算。如果R是由坐标系F到坐标系G旋转矩阵，则运算a与a的关系为：FGTaRaR(2.2)GFa与a的不同仅在于它们作用于不同坐标系下。GF矩阵求导：叉积矩阵提供了一个很方便的渠道来表述一个矩阵的导数。设坐标系B相对于一个惯性坐标系O进行旋转，角速度为()t，旋转矩阵R()t为由坐标系B到坐标

8、系O的旋转矩阵。如果()t是角速度()t在坐标系O下的坐o标，()t是角速度()t在坐标系B下的坐标，则有矩阵的导数：bRRo(2.3)RRb证明：设r为固定在坐标系B中的一个向量，它随坐标系B一起在全局坐标框架O下旋转。以r和r分别表示r在坐标系O和坐标系B下的坐标。则计算导数robo有几种方式：rRd()r