3、-l1=(3x+H)(%-l),所以/(x)在x=l处収得极值；［/?=-11当r=_3时，/(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,此时f(x)在兀=1无极值.b=3所以a=—3,/?=3-易错点3・对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例3】己知函数f(x)的导函数广(X)的图像如左图所示，那么函数/(X)的图像最有可能的是【错解】选B,C,D【剖析】概念不清，凭空乱猜【正解】由导函数的图像,可得：当Jtw(—oo,—2)U(0,+oo)时,/(x)<0,当xg(-2,0)时,f(力〉0,且开口向下；则/(兀)在(-00-2)上递减，在
4、(-2,0)±递增，在(0,-f-oo)递减；故选A.【纠错训练】函数尸/(兀)的导函数广(兀)的图象如右图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()y'VZV•,*Vyr._/•r.。V/*0X0x0JJx0A.B.c.D.【解析】试题分析：由图像町知导数值先止后负，所以原函数先增后减，只有D符合.易错点4•遗忘复合函数求导公式【例4】函数『二兀弋―”的导数为•【错解】#=*一皿"【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变最的导数等于已知函数对中间变最的导数，乘以中间变量对自变量的导数,即y；=x；・u；•【正解】y'=+兀但-曲)'=』-沁+%e
5、>-cosx(1_cosM=』一曲+兀0Y®sin兀=(1+兀sinx)』®"易错点5.切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线/(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线/(兀)的切线,求切线方程.【错解】由导数的几何意义知£=.厂(0)=—3,所以曲线的切线方程为=-3x+32.【错因】点M(0,32)根本不在曲线上，忽视切点位置致错.【正解1设切点坐标为N(兀,2兀：-3观)，则切线的斜率k=ff(x{})=6x~-3,故切线方程为y=(6球一3)兀+32,又因为点N在切线上，所以2卅一3兀°=(6球一3)兀°+32,解得%0=-2,所以切线
6、方程为y二21X+32.注意：导数的儿何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上.【纠错训练】已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,/(-I))处的切线方程为6x—y+7=0,求函数y=/(x)的解析式；解析:由/*(兀)的图象经过P(0,2),知d二2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.由在A/(-l,/(-l))处的切线方程是6兀一y+7=0,知-6-/(-1)+7二(),即/(-1)=1,广(-1)"」*2b+c=6,即严-*3,解得&十_3.故所求的解-l+b
7、-c+2=l.[b-c=0,析式是/(x)=x3-3x2-3x+2.易错点6•忽视极值的存在条件致错a.b【例6】L1知函数f(x)=x3+ax2hx+a2在兀二1处有极值10,求a,b.分析：抓住条件“在X=1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得•有两组值，是否都合题意需检验.f错解】/r(x)=3x2+2ax+b,根据题意可得fro)=o1/(1)=102a+b+3=0/+a+b+l=10【错因】极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号.【正解】fr(x)=3x2+2ax+b.根据题意可得广⑴=0/(1)=102q+/?+3=0即
8、。cr+a+b+l=10而当a2=-3b=3时，/'(兀)=3〒
